Trudności z metodą spektralną przy użyciu wielomianów Czebeszewa

Mam trochę trudności z próbą zrozumienia artykułu. W pracy zastosowano metodę spektralną do obliczenia wartości własnej pochodzącej z układu sprzężonych ODE. Wypiszę teraz tylko jedno równanie, ponieważ wystarczy przejść do sedna moich pytań.

Równanie to

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Wykonuję pochodną i rozumiem

(Eq1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Teraz zgodnie z artykułem powinienem być w stanie rozwinąć wielkości równowagi ) układu jako wielomiany formy Czebyszewa$(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$ , gdzie $T_i[y]$ są wielomianami. Wiem, jak uzyskać $b_i$ za pomocą kodu napisanego w Mathematica. Również $y = 2(r/R) -1$ , a domeną $r$ jest $(0,R)$ .

W dokumencie stwierdzono również, że funkcje ( $V,W$ ) można rozszerzyć jako $F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$ , i że ogólnie termin taki jak $B[r]F[r]$ można wyrazić jako

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

gdzie $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$ i $\Theta(k) = 0$ dla $k<0$ i wynosi 1 dla $k\geq 0$ .

Biorąc to wszystko pod uwagę, załóżmy, że wykonuję następujące funkcje równowagi

$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$ i $r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$ , a następnie w stanie EQ1

(Eq2) $\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$ .

Pytanie 1: Co mam zrobić z warunkami ? Wielomiany są funkcjami więc w jaki sposób mogę nawet mieć rozszerzenie takie jak Funkcja X z [y]? Wygląda też na to, że mogę je po prostu podzielić z każdej strony równania, więc jaki był sens wprowadzenia tego terminu? To znaczy, zgodnie z artykułem, termin ten ma narzucać warunek brzegowy, że idą do zera, gdy idzie do zera.$(\frac{r}{R})^l$$[y]$$B[r]= (\frac{r}{R})^l$$V,W$$r$

* Question2: * Jak mam do czynienia z w okresie. Artykuł zawiera opis sposobu obsługi terminów pochodnych, ale co z samym . Czy powinienem traktować to jak wartość równowagi i stosować regułę dla terminów takich jak czy powinienem wyrazić to w kategoriach . A może powinienem zrobić coś jeszcze?$r$$r*W'$$r$$B[r]F[r]$$r$$y$

Nie jestem pewien, czy można odpowiedzieć na pytanie bez szczegółowego przeczytania artykułu. Ale w odniesieniu do pierwszego pytania masz . Tego czynnika nie można podzielić, ponieważ nie zwielokrotnia on wszystkich warunków.$r/R = (y+1)/2$

W przypadku pytania 2: ponieważ to równanie ma być zastosowane do zastosowania warunku brzegowego przy , myślę, że wspomniany termin powinien zniknąć.$r=0$