Alternatywy dla analizy stabilności von Neumanna dla metod różnic skończonych

Pracuję nad rozwiązaniem sprzężonych jednowymiarowych równań poroelastyczności (model Biota ), podanych jako:

$$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$$ w dziedzinieΩ=(0,1)i z warunkami brzegowymi: $$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$$ $\Omega=(0,1)$

ux=0iU=0,∂$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$$x=0$przyx=1.$u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$$x=1$

Zdyskretowałem te równania, stosując scentralizowany schemat różnic skończonych:

γp t + 1 i -p t

$$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$$ $$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$$

Obecnie pracuję nad szczegółami konwergencji programu, analizując jego spójność i stabilność. Część dotycząca spójności wydaje mi się dość prosta, ale już przewiduję pewne trudności z analizą stabilności. Przede wszystkim istnieją dwie zmienne i dwa równania. Po drugie, w drugim równaniu występuje również mieszany wyraz pochodnej czasoprzestrzennej. Znam analizę stabilności von Neumanna i widzę, że ustalenie stabilności za pomocą tej metody będzie bardzo trudne. Czy mogę zastosować jakieś alternatywy dla analizy von neumanna?

$\frac{\partial u}{\partial x}$$u_x$

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$$ $1$${}_h$$\frac{d}{dt}$

Teraz struktura różnicowo-algebraiczna (DAE) jest widoczna. Dla zmiennych istnieją zarówno równania różniczkowe (w czasie), jak i algebraiczne.

$\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

Przy takim podejściu możesz obejść analizę stabilności.

$L^2$$(*)$$\Delta_h$$\partial_h$

$(*)$$u\leftarrow u_x$

DODATEK: Mówi się, że DAE ma indeks 1, jeśli można go przekształcić w ODE bez różnicowania równań.

$$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$$ $\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$$\tilde y \to y$$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$$\tilde A_{22}$$A_2$$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

$(*)$$A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$$\tilde y_2$$(p_h,u_{x,h})$$\frac{d}{dt}\tilde y_2$$(*)$

Nie znam podanych tu równań, ale pamiętam naukę innej metody sprawdzania stabilności schematu numerycznego w moich zajęciach. Jest znany jako analiza równań zmodyfikowanych.

Oto dobre odniesienie do tego,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

W powyższym odnośniku ustalono związek między teorią stabilności opartą na analizie zmodyfikowanego równania a analizą stabilności von Neumanna.

Po kilku wyszukiwaniach online natrafiłem na następujące referencje,

W artykule omówiono modelowanie różnic skończonych równań poroelastycznych Biota przy częstotliwościach sejsmicznych. Zawiera także sekcję dotyczącą stabilności schematu numerycznego.

W artykule przedstawiono strategię rozwiązania odsprzęgania sprzężonego układu i sprawdzania stabilności schematu numerycznego.