Jak włączyć warunki brzegowe do metody Galerkina?

Czytałem w Internecie niektóre zasoby na temat metod Galerkina do rozwiązywania PDE, ale nie mam pojęcia o czymś. Oto mój własny opis tego, co zrozumiałem.

Rozważ następujący problem wartości granicznej (BVP):

$$L[u(x,y)]=0 \quad \text{on}\quad (x,y)\in\Omega, \qquad S[u]=0 \quad \text{on} \quad (x,y)\in\partial\Omega$$

gdzie $L$ jest 2-go rzędu liniowy operatora różnicowania $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ jest domeną BVP, $\partial\Omega$ jest granica domeny, a $S$ jest 1 stopnia liniowy operator różnicowy. Wyrażenie $u(x,y)$ jako przybliżenie postaci:

$$u(x,y)\approx \sum_{i=1}^N a_i g_i(x,y)$$

gdzie $g_i$ są zbiorem funkcji, których użyjemy do przybliżenia $u$ . Zastępowanie w BVP:

$$\sum_i a_i L[g_i(x,y)]=R(a_1,...,a_N,x,y)$$

Ponieważ nasze przybliżenie nie jest dokładne, reszta nie jest dokładnie zerowa. W sposobie Galerkina-Ritz, Raleigh zminimalizować R w stosunku do zestawu zbliżone funkcje wymagając ⟨ R , g i ⟩ = 0 . W związku z tym$R$$R$$\langle R,g_i \rangle = 0$

$$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$$

Dlatego, aby znaleźć współczynniki , musimy rozwiązać równanie macierzowe:$a_i$

$$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$$

Moje pytanie brzmi: jak włączyć w to warunki brzegowe?

EDYCJA: Pierwotnie pytanie brzmiało, że był liniowym operatorem różnicowym drugiego rzędu. Zmieniłem go na liniowy operator różnicowy 1. rzędu.$S[u]$

Szybkie i ogólne odpowiedzi bez abstrakcji matematycznych. Istnieje kilka opcji nałożenia warunków brzegowych, np

Ściśle rzecz biorąc metoda galerkina wymaga, aby wybrać zestaw funkcji bazowych, które spełniają BC problemu (np poprzez Podstawa rekombinacji i / lub rozszczepiania zbliżanie wit u $u_h=u_0+u_N$$u_0$ odpowiedzialny za niejednorodnych roztworów i częściowa suma, która opiera się na funkcjach bazowych, spełniających jednorodne warunki)$u_N$

• Metody kar / Lagrange mnoży się, gdy w zasadzie dodaje się karę, która uwzględnia warunek brzegowy, np. A + gdzie B jest macierzą odpowiedzialną za dyskretny warunek brzegowy, a b p odpowiada za niejednorodne warunki. W granicach τ → ∞ warunki są silnie narzucone, a w przeciwnym razie są narzucone słabo. Wybór τ wpływa na warunkowanie systemu.$\tau*B = b + \tau*b_p$$B$$b_p$$\tau\to\infty$$\tau$

• Metoda Tau, w której szereg równań jest wymienianych (modyfikacja wierszy w systemie Galerkina) z dyskretnymi wersjami warunków brzegowych, które są następnie egzekwowane jawnie. Uwaga: jedną z opcji jest również przekroczenie granic systemu przez dodatkowe warunki brzegowe.

• Przed dyskretyzacją (metoda Ritza) przepisz formułę Galerkina za pomocą twierdzenia o dywergencji Gaussa, aby przekształcić całki objętościowe w całki brzegowe, a następnie włącz (warunki dokładne lub w przybliżeniu) warunki brzegowe bezpośrednio do formulacji przed dyskretyzacją.

• Wreszcie, wykorzystując połączenie między rozszerzeniami węzłowymi / modalnymi, możliwe jest również uzyskanie węzłowej metody Galerkina, w której rozwiązaniem systemu są współczynniki podstawy Lagrange'a, a nie podstawy modalne.

Jedną z możliwości jest złożenie macierzy systemowej i wektora b po prawej stronie , z określonymi stopniami swobody jako nieznane, jak każdy inny stopień swobody. Następnie A i b są modyfikowane przez wyzerowanie wierszy i kolumn związanych z zalecanymi dof i wstawienie jednego do odpowiedniego wpisu po przekątnej oraz odpowiednią modyfikację wektora rhs b .$A$$b$$A$$b$$b$

Kiedy wyzerujesz rzędy, umieść jeden w przekątnej i zmień rhs, aby wymusić przepisaną wartość, system nie będzie już symetryczny. Dlatego zerujesz kolumny i modyfikujesz wektor rhs $b$ aby uwzględnić zalecaną wartość.

Inną możliwością jest dodanie bardzo dużej liczby (zwykle 1e10) do przekątnej przepisanego dof, a następnie ustawienie wpisu rhs na p * ˉ u , gdzie ˉ u jest zalecaną wartością tego dof.$p$$\bar{u}$$\bar{u}$

Ogólny problem radzenia sobie z warunkami brzegowymi metodą elementów skończonych może być dość skomplikowany. Ale jeśli:

• $S(u)$ is such that the only imposition $S(u)=0$ makes on the form of $u$ is that it is equal to some $f(x,y)$ on $\delta \Omega$.

• You can finagle your elements so that $\delta \Omega$ is entirely on the boundaries of various elements

it's actually very simple. Your equation:

$$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$$ needs to be replaced with $$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=\mathbf{b}$$

where the right hand side vector $\mathbf{b}$ represents the boundary conditions.

To determine $\mathbf{b}$, set the elements of your basis that determine the value of $u$ on $\delta \Omega$ to whatever values they need to be to satisfy the boundary conditions. In $\langle L[g_j],g_i \rangle$, you should exclude them from the $g_j$ but not the $g_i$ (the elements of $\mathbf{a}$ that correspond to these functions have already been determined, so they shouldn't be included in the matrix equation) . Then, set up

$$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$$ as a matrix equation, and the values of the elements of $\mathbf{b}$ should pop right out as the inner products of $L$ operating on your your interior basis with elements of your boundary basis.

Here is a method known as basis recombination, which has not been mentioned in the present thread. I'm citing from the book of J.P. Boyd, "Chebyshev and Fourier Spectral Methods", 2nd Ed., Chapter 6.5.:

If the problem

$$L u = f$$ has inhomogeneous boundary conditions, then it may always be replaced by an equivalent problem with homogeneous boundary conditions, so long as the boundary conditions are linear. The first step is to choose a simple function $B(x)$ which satisfies the inhomogeneous boundary conditions. One may then define a new variable $v(x)$ and new forcing function $g(x)$ via $$u(x) ≡ v(x) + B(x)\\ g(x) ≡ f(x) − L B(x)$$ so that the modified problem is $$L v = g$$ where $v(x)$ satisfies homogeneous boundary conditions. ...

The shift function $B(x)$ is arbitrary except for the constraint that it must satisfy all the inhomogeneous boundary conditions. However, the simplest choice is the best: polynomial interpolation of the lowest order that works.

Next comes my own explanation:

• "Inhomogeneous boundary condition" means a condition which contains a constant, e.g.

  $$\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 1.$$

  According to the above program, by choosing a convenient function $B(x)$, you get that down to

  $$\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 0.$$

• Once you made all boundary conditions homogeneous in this way, you can turn to your basis expansion (which I assume is done in terms of a product basis):

  $$u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$$ By applying the corresponding BC operator, one obtains $$\partial_x u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi^\prime_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$$ and this should be zero for $x=x_0$ according to the above example.

• Now comes the crucial step: by using a basis $\phi_i(x)$ which already satisfies the BC by itself, i.e. $\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 0$ for all $i$, the BC of the (transformed) two-dimensional problem are satisfied automatically! Basis sets of this and similar kind can be found, e.g., by a procedure called "basis recombination" (that is often used in combination with collocation methods).

• Note that this is the point where homogeneous boundary conditions really matter, because otherwise one would need to impose further constraints. For example, suppose we would be working with the "$=1$" condition above, and, correspondingly, let's try to use a basis with $\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 1$. Then

  $$\partial_x u(x,y)|_{x=x_0} \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \varphi_{j}(y)\,$$ and in order to make this expression equal to $1$ for all $y$, one would have to constrain the expansion coeffcients $a_{ij}$ as well. Thus, for inhomogeneous BCs, there is a general way to apply the constraints to the one-dimensional parts but use it for to the full problem.

The nice thing about this whole approach is that it is working on a relatively abstract level. Necessary ingredients are only linearity of the BC operator and an ansatz in terms of product basis functions. As such, it is also applicable to approximate methods.