siatka jednolita vs. niejednorodna

Prawdopodobnie jest to pytanie na poziomie studenta, ale nie potrafię tego wyjaśnić. Dlaczego bardziej dokładne jest stosowanie niejednorodnych siatek w metodach numerycznych? Myślę w kontekście pewnej metody różnic skończonych dla PDE postaci . Załóżmy, że jestem zainteresowany rozwiązaniem w punkcie . Widzę więc, że jeśli przybliżę drugą pochodną, ​​na przykład na jednolitej siatce, stosując przybliżenie trzypunktowe, błąd będzie rzędu drugiego . Następnie mogę zbudować niejednorodną siatkę za pomocą mapowania i znaleźć współczynniki dla trzech punktów, które są używane do przybliżenia pochodnej. Mogę zrobić rozszerzenia Taylora i ponownie uzyskać granicę dla pochodnej drugiego rzędu , gdziex ∗ O ( h 2 ) O ( h 2 ) $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$x^{\ast}$$O(h^2)$$O(h^2)$$h$ to odległość na jednolitej siatce, z której uzyskałem mapowanie na niejednorodną siatkę. Oba szacunki zawierają pochodne i nie jest dla mnie jasne, dlaczego rozwiązanie byłoby bardziej dokładne na niejednorodnej siatce, ponieważ zależy to od wielkości odpowiednich pochodnych w szacunkach błędów?

Uzasadnienie dla niejednorodnych siatek wygląda następująco (wszystkie równania rozumiane jako jakościowe, tj. Zasadniczo prawdziwe, ale bez udawania, że ​​można je udowodnić we wszystkich okolicznościach i dla wszystkich równań lub wszystkich możliwych dyskretyzacji):

‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C h 4 max ‖ ∇ 2 u ‖ 2 L 2 ( Ω ) . ‖ U - u

$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$$ $K$$\mathbb T$$h_\text{max}$. Najbardziej skuteczną strategią będzie raczej zrównoważenie wkładów w błąd - innymi słowy, powinieneś wybrać Innymi słowy, lokalny rozmiar oczka powinien być mały, gdy roztwór jest szorstki (ma duże pochodne) i duży, gdy roztwór jest gładki, a powyższy wzór zapewnia ilościową miarę tego związku.$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$ $$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$$ $h_K$

Udowodnij to sobie na tym przykładzie. Jaki jest maksymalny błąd przy interpolacji sqrt (x) w przedziale [0,1] z częściową interpolacją liniową na jednolitej siatce?

Jaki jest maksymalny błąd podczas interpolacji na siatce, w której i-ta z n punktów jest dana przez (i / n) ^ s, a s jest starannie wybranym parametrem gradacji siatki?

$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$$D(x)$$D(x)$

$u(x,0)$

Kamil, rozwiązywanie równań różniczkowych jest globalne, interpolacja jest lokalna. W częściowej interpolacji wielomianowej dokładność daleko od osobliwości nie będzie przeszkadzać osobliwości. Niestety nie jest to wcale prawdą w przypadku rozwiązywania równania eliptycznego, takiego jak problem dwupunktowej wartości granicznej. Osobliwość zanieczyści to przybliżenie na całym świecie.

Oto coś do wypróbowania. Rozwiąż D (sqrt (x) Du) na [0,1] z homogenicznym Dirichlet bcs D jest operatorem różnicowania. Użyj elementów skończonych lub różnic skończonych na jednorodnej siatce n-punktowej. Porównaj z siatką, w której i-tym punktem jest (1 / n) ^ 1,5. Zauważ, że najgorszy błąd dla jednolitej siatki jest daleki od osobliwości i znacznie większy niż dla siatki stopniowanej.