Co należy rozumieć przez „moment widmowy”?

Skonsultowałem się z wszechmocnymi wyroczniami Google i Wiki, ale nie mogę znaleźć definicji frazy „moment spektrum”.

Stary tekst roboczy, który czytam, używa go w następujący sposób, określając liczbę przejść przez zero w jednostce czasu w następujący sposób:

$$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$$

Następnie przechodzi do dalszego zdefiniowania liczby ekstremów na jednostkę czasu podanej przez:

$$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$$

gdzie w końcu mówi: „gdzie $m_i$ jest $i$moment widma. ”

Czy ktoś to kiedyś spotkał? Jaki jest „moment” widma? Nigdy wcześniej o tym nie słyszałem w literaturze DSP.

Przyjmij sygnały dolnoprzepustowe w całym tekście.

Od $X(f)$ jest zwykle wyceniana na podstawie widma mocy $|X(f)|^2$ jest prawdopodobnie lepszym pomysłem, szczególnie jeśli później chcesz wyliczyć pierwiastek kwadratowy. A zatem,$m_k$ jest zdefiniowany jako

$$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$$ Zauważ w szczególności, że $m_0$ jest mocą sygnału, i $m_1 = 0$ Teraz przepustowość Gabora $G$ sygnału jest podawany przez $$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$$ Aby umieścić to w nieco innej perspektywie, $|X(f)|^2$ jest nieujemną funkcją i „obszarem pod krzywą $|X(f)|^2$, „mianowicie. $m_0$, to moc sygnału. W związku z tym,$|X(f)|^2/m_0$jest efektywnie funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej o zerowej średniej, której wariancją jest $$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$$ .

Sinusoida częstotliwości $G$ Hz ma $2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$ zero przejazdów na sekundę. Ponieważ Mohammad czyta starszą książkę, może to wszystko robić z częstotliwością radiową$\omega$, a zatem jeśli $G$ to przepustowość Gabora w radianach na sekundę, przez którą musimy się podzielić $2\pi$ dający

$$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$$

Przechodząc do ekstremów The pochodną z$x(t)$ ma transformatę Fouriera $j2\pi f X(f)$ i spektrum mocy $|2\pi f X(f)|^2$. Jego przepustowość Gabor wynosi

$$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$$ Korzystając z tych samych argumentów jak poprzednio (dwa przecięcia zera pochodnej na okres są takie same jak dwa ekstremy na okres), radian kontra częstotliwość Hertziana, otrzymujemy $$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$$

Nie wiem, czy słyszałem już ten termin wcześniej, ale interpretowałbym termin „moment” jako mający analogiczne znaczenie do fizycznych koncepcji środka masy oraz pierwszych i drugich momentów obszaru:

$$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$$

Oznacza to, że zawartość przy każdej częstotliwości widma jest ważona przez $k$-te moc częstotliwości, a wynik sumuje się w całym spektrum. Nie jestem pewien, czy tego właśnie chcesz, ale jest to pojęcie momentu dla widma (lub dowolnej funkcji jednej zmiennej, jeśli o to chodzi).

Wskaźniki, o których wspominasz, to przypadki znormalizowanych momentów lub $L$-moments . Chwile w przetwarzaniu sygnału są podobne do momentów w fizyce i momentów w statystykach. W fizyce pojęcie momentu to:

wyrażenie obejmujące iloczyn odległości i innej wielkości fizycznej, w ten sposób uwzględnia to, w jaki sposób wielkość fizyczna jest zlokalizowana lub ułożona

Może się to wydawać uogólnieniem pojęcia centrum masy. Średnia, odchylenie standardowe lub skośność i kurtoza są pochodnymi pojęciami i można je obliczyć w dowolnej dziedzinie, na przykład w czasie lub częstotliwości. Zasadniczo$\alpha$-moment funkcji $g$ ponad domeną $D$wokół wartości $c$, jest zdefiniowany w formie integralnej przez:

$$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$$ lub $$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$$ kiedy był potrzebny. Klasycznie, dla prawdziwych sygnałów$x$, ze względu na symetrię, w domenie Fouriera z $X(f)$momenty widmowe są definiowane w odniesieniu do znormalizowanej energii ($g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$) $$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$$

Patrz na przykład: Efektywne obliczanie momentów widmowych w celu określenia statystyki losowej odpowiedzi dla momentów widmowych: „Momenty widmowe są obliczane z jednostronnego PSD”.

Zamieniono na proporcje $L$-momenty mogą stać się pozbawionymi skali, bezjednostkowymi wskaźnikami zachowań funkcji, w tym ekstremami, przekraczaniem zera lub rzadkością (z$m_1/m_2$na przykład) .