Dlaczego filtry FIR są zawsze stabilne?
Ponieważ zawierają bieguny, czy nie powinny być bardziej dotknięte problemami stabilności niż inne?
filters
finite-impulse-response
użytkownik7277
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Filtry FIR zawierają tylko zera i bez biegunów. Jeśli filtr zawiera bieguny, jest to IIR. Filtry IIR są rzeczywiście dotknięte problemami ze stabilnością i należy się z nimi obchodzić ostrożnie.
EDYTOWAĆ:
Po kilku dalszych przemyśleniach, pisaniu i wyszukiwaniu w sieci, myślę, że mam odpowiedź na to pytanie dotyczące biegunów FIR, które, mam nadzieję, będą satysfakcjonujące dla zainteresowanych stron.
Zaczynając od transformacji Z pozornie bezpolowego filtra FIR: Jak pokazano w odpowiedzi RBJ, bieguny FIR ujawnia się poprzez pomnożenie licznika i mianownikaH(z)przezzN: H(z)=b0z N +b1z N - 1 +b2z N - 2 +⋯+bN
Jednak aby to pokazać, założenie przyczynowości umieszcza się na filtrze. Rzeczywiście, jeśli weźmiemy pod uwagę bardziej ogólny filtr FIR, w którym nie zakłada się związku przyczynowego: Przy początku pojawia się inna liczba biegunów(N-k): G(z)=b0z N +b1z N - 1 +b2z N - 2 +⋯+bN
Stwierdzam zatem, co następuje:
źródło
Filtry FIR zawierają tyle biegunów, ile mają zera. ale wszystkie bieguny znajdują się na początku, .z=0
ponieważ wszystkie bieguny znajdują się wewnątrz koła jednostki, filtr FIR jest pozornie stabilny.
prawdopodobnie nie jest to filtr FIR, o którym myśli OP, ale istnieje klasa filtrów FIR zwanych filtrami obciętymi IIR (TIIR), które mogą mieć biegun na lub poza okręgiem jednostki, który jest anulowany przez zero w tym samym miejscu. najprostszym przykładem jest filtr ruchomej sumy lub średniej ruchomej. ale z perspektywy I / O te filtry TIIR są FIR.
ale nie naiwnie gwarantowałbym „stabilność”. używając języka systemu sterowania, filtr TIIR nie jest „w pełni obserwowalny” i może wydawać się stabilny, ponieważ jego odpowiedź impulsowa wydaje się mieć skończoną długość, ale wewnątrz stanów filtra może dojść do piekła, a ze skończoną precyzją liczbową ta niestabilność wewnętrzna ostatecznie pokaż na wyjściu.
musimy dezorientować się, że „filtry FIR nie mają biegunów” . to nieprawda.
źródło
„Czy możesz matematycznie pokazać, że filtry FIR mają bieguny, ponieważ ich nie widzę”. - Jim Clay
czy możemy założyć, że ten FIR jest przyczynowy?
skończona odpowiedź impulsowa:h [ n ] = 0∀n > N, n < 0
funkcja przenoszenia FIR:
wystarczy, że uwzględnisz licznik, a będziesz wiedział, gdzie są zera. ale jest całkiem oczywiste, gdzie wszystkie bieguny są dla filtra FIR. i jest tyle biegunów, ile jest rzędów filtra FIR. zauważ, że te bieguny nie wpływają na pasmo przenoszenia. z wyjątkiem fazy.
źródło
Właściwie nieco z definicji. Ponieważ wprowadzasz skończoną energię, a filtr będzie tylko maksymalnie dostarczał wielokrotność energii wejściowej (jego odpowiedź impulsowa ma skończoną energię), wynikowy sygnał będzie miał maksymalnie wielokrotność energii wejściowej. Nie może rezonować, a tym samym eskalować, podobnie jak filtry IIR. To także stoi za odpowiedzią Kenneidesa.
źródło
Nikt tak naprawdę nie poruszył, dlaczego bieguny filtra FIR są usuwalne, więc próbowałem odpowiedzieć na to poniżej.
Filtry FIR będą miały wyjmowane bieguny u źródła, ponieważ wymaga tego ograniczenie ich odpowiedzi impulsowej. To jest wokół bieguna, możliwe jest zdefiniowanie funkcji tak, aby była nadal holomorficzna (różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny).
Twierdzenie Riemanna, że jeśli sygnał jest różnicowalny w każdym punkcie jego domeny (z wyjątkiem skończonej liczby punktów), wówczas istnieje sąsiedztwo wokół tych specjalnych punktów, w których funkcja jest ograniczona. Implikacje są w tym twierdzeniu dwukierunkowe, więc ponieważ filtry FIR muszą mieć ograniczoną odpowiedź impulsową, odpowiedź impulsowa musi być różniczkowalna w każdym punkcie koła jednostkowego. W ten sposób sygnał może być przedłużany w spójny sposób, aby nie występowały osobliwości (tj. Bieguny są usuwalne).
źródło