Szybki / wydajny sposób dekompozycji liczb całkowitych oddzielnych współczynników filtra 2D

Chciałbym móc szybko ustalić, czy dane jądro 2D o współczynnikach całkowitych można rozdzielić na dwa jądra 1D o współczynnikach całkowitych. Na przykład

 2   3   2
 4   6   4
 2   3   2

można podzielić na

 2   3   2

i

 1
 2
 1

Rzeczywisty test separowalności wydaje się dość prosty przy użyciu arytmetyki liczb całkowitych, ale rozkład na filtry 1D o współczynnikach całkowitych okazuje się trudniejszym problemem. Trudność wydaje się polegać na tym, że stosunki między rzędami lub kolumnami mogą być niecałkowite (ułamki wymierne), np. W powyższym przykładzie mamy stosunki 2, 1/2, 3/2 i 2/3.

Naprawdę nie chcę stosować podejścia o dużej obciążalności, takiego jak SVD, ponieważ (a) jest to stosunkowo kosztowne obliczeniowo dla moich potrzeb i (b) nadal niekoniecznie pomaga w określeniu współczynników całkowitych .

Jakieś pomysły ?

DALSZA INFORMACJA

Współczynniki mogą być dodatnie, ujemne lub zerowe i mogą wystąpić przypadki patologiczne, w których suma jednego lub obu wektorów 1D wynosi zero, np.

-1   2  -1
 0   0   0
 1  -2   1

można podzielić na

 1  -2   1

i

-1
 0
 1

Wziąłem @Phononodpowiedź i nieco ją zmodyfikowałem, aby używała metody GCD tylko w górnym wierszu i lewej kolumnie, a nie w sumach wierszy / kolumn. Wydaje się, że to trochę lepiej radzi sobie z przypadkami patologicznymi. Nadal może się nie powieść, jeśli wszystkie górne wiersze lub lewe kolumny są zerami, ale przypadki te można sprawdzić przed zastosowaniem tej metody.

function [X, Y, valid] = separate(M)    % separate 2D kernel M into X and Y vectors 
  X = M(1, :);                          % init X = top row of M
  Y = M(:, 1);                          % init Y = left column of M
  nx = numel(X);                        % nx = no of columns in M
  ny = numel(Y);                        % ny = no of rows in M
  gx = X(1);                            % gx = GCD of top row
  for i = 2:nx
    gx = gcd(gx, X(i));
  end
  gy = Y(1);                            % gy = GCD of left column
  for i = 2:ny
    gy = gcd(gy, Y(i));
  end
  X = X / gx;                           % scale X by GCD of X
  Y = Y / gy;                           % scale Y by GCD of Y
  scale = M(1, 1) / (X(1) * Y(1));      % calculate scale factor
  X = X * scale;                        % apply scale factor to X
  valid = all(all((M == Y * X)));       % result valid if we get back our original M
end

Wielkie dzięki @Phononi @Jason Rdla oryginalnych pomysłów na to.

Rozumiem! Publikując kod MATLAB, opublikuję wyjaśnienie dziś wieczorem lub jutro

% Two original arrays
N = 3;
range = 800;
a = round( range*(rand(N,1)-0.5) )
b = round( range*(rand(1,N)-0.5) )

% Create a matrix;
M = a*b;
N = size(M,1);

% Sanity check
disp([num2str(rank(M)) ' <- this should be 1!']);

% Sum across rows and columns
Sa = M * ones(N,1);
Sb = ones(1,N) * M;

% Get rid of zeros
SSa = Sa( Sa~=0 );
SSb = Sb( Sb~=0 );

if isempty(SSa) | isempty(SSb)
    break;
end

% Sizes of array without zeros
Na = numel(SSa);
Nb = numel(SSb);

% Find Greatest Common Divisor of Sa and Sb.
Ga = SSa(1);
Gb = SSb(1);

for l=2:Na
    Ga = gcd(Ga,SSa(l));
end

for l=2:Nb
    Gb = gcd(Gb,SSb(l));
end

%Divide by the greatest common divisor
Sa = Sa / Ga;
Sb = Sb / Gb;

%Scale one of the vectors
MM = Sa * Sb;
Sa = Sa * (MM(1) / M(1));

disp('Two arrays found:')
Sa
Sb
disp('Sa * Sb = ');
Sa*Sb
disp('Original = ');
M

Może trywializuję problem, ale wygląda na to, że możesz:

• $N$$M$$\mathbf{A}$$\mathbf{a_i}$$i = 0, 1, \ldots , N-1$

• $j > 0$

  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$$\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$0$$\mathbf{x}$
  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$

• $\mathbf{x}$

• $\mathbf{x_{norm}}$ $$\mathbf{x_{scaled}} = K\mathbf{x_{norm}}, K = 1, 2, \ldots, M$$ $K$$M$

Nie jest to najbardziej elegancka metoda i prawdopodobnie istnieje lepszy sposób, ale powinna działać, jest dość prosta do wdrożenia i powinna być stosunkowo szybka w przypadku matryc o skromnych rozmiarach.

$x \otimes y \otimes z$$A$$|A - x \otimes y \otimes z|$
$x\ y\ z$
$y$$z$$x$$x\ y\ z\ x\ y\ z\ ...$ z kolei.

(Od przybliżonych splotów jako sumy rozdzielnych splotów na matematyce. Wymiana_kumulacji.)