Różnice między filtrowaniem a wygładzaniem regresji wielomianowej?

Jakie są różnice między klasycznym filtrowaniem dolnoprzepustowym (z IIR lub FIR) a „wygładzaniem” przez zlokalizowaną regresję wielomianową N-tego stopnia i / lub interpolację (w przypadku próbkowania w górę), szczególnie w przypadku, gdy N jest większe niż 1 ale mniejsza niż lokalna liczba punktów użytych w dopasowaniu regresji.

Zarówno filtrowanie dolnoprzepustowe, jak i wygładzanie regresji wielomianowej mogą być postrzegane jako przybliżenia funkcji. Jednak sposoby na zrobienie tego są różne. Kluczowe pytanie, które należy tutaj zadać, brzmi: „Czy możesz zrobić jedno w kategoriach drugiego?” a krótka odpowiedź brzmi „nie zawsze” z powodów wyjaśnionych poniżej.

Podczas wygładzania przez filtrowanie kluczową operacją jest splot, w którym , co w dziedzinie częstotliwości przekłada się na y = F - 1 ( F ( x ) F ( h ) ), gdzie F oznacza dyskretna transformata Fouriera (i F - 1 odwrotność). Dyskretna transformata Fouriera (np. F ( x ) ) zapewnia przybliżenie $y(n)=x(n)*h(n)$$y=F^{-1}(F(x)F(h))$$F$$F^{-1}$$F(x)$$x$jako suma funkcji trygonometrycznych. Gdy jest filtrem dolnoprzepustowym, zachowywana jest mniejsza liczba składników niskiej częstotliwości, a nagłe zmiany x są wygładzane. Ustawia to filtrowanie dolnoprzepustowe w kontekście aproksymacji funkcji za pomocą funkcji trygonometrycznych jako funkcji bazowych , ale warto ponownie sprawdzić formułę splotu, aby zauważyć, że podczas filtrowania y (n) (wydajność filtra) zależy od x ( n ), a także ważoną sumę przeszłych próbek x (tutaj ważenie określone przez „kształt” h ). (podobne rozważania dotyczą oczywiście filtrów IIR z dodatkiem wcześniejszych wartości y $h$$x$$x(n)$$x$$h$ również)$y(n)$

Podczas wygładzania za pomocą jakiegoś wielomianu n , wyjście interpolantu zależy tylko od i kombinacji (różnych) funkcji bazowych (zwanych również monomialami ). Jakie są te różne funkcje podstawowe? Jest to stała ( 0 x 0 ), linia ( 1 x ), parabola ( 2 x 2 ) i tak dalej (patrz na to za miły ilustracji). Zwykle jednak, gdy mamy do czynienia z równo odległymi próbkami w czasie i ze względów dokładności, stosuje się formę wielomianu Newtona$x(n)$$a_0x^0$$a_1x$$a_2x^2$. Powołuję się na to dlatego, że dzięki temu łatwo zauważyć, że podczas wykonywania interpolacji liniowej można zbudować jądro filtra, które zwraca liniowo ważoną sumę dostępnych próbek, podobnie jak wielomian interpolacji niskiego rzędu użyłby „linii” do interpolacji między dwiema próbkami. Ale w wyższych stopniach dwie metody aproksymacji zwrócą różne wyniki (ze względu na różnice w funkcjach podstawowych).

$x(n)$$x$ - zwróć uwagę na normalizację -)

Powodem użycia filtrowania jako interpolacji, na przykład w przypadku „interpolacji Sinc'a”, jest to, że ma to również sens z fizycznego punktu widzenia. Idealną reprezentacją systemu ograniczonego pasmem (np. Wzmacniacza (liniowego) lub soczewki w systemie optycznym ) w dziedzinie czasu jest impuls cynkowy. Reprezentacja w dziedzinie częstotliwości impulsu cynkowego jest prostokątnym „impulsem”$x^3$na przykład). Mówię ściśle o ograniczeniach nałożonych przez interpolację, gdy próbuje się „odgadnąć” obiektywnie brakujące wartości.

Nie ma uniwersalnej „najlepszej metody”, w dużej mierze zależy ona od problemu interpolacji, z którym się borykasz.

Mam nadzieję, że to pomoże.

PS (Artefakty generowane przez każdą z dwóch metod aproksymacji są również różne, patrz na przykład zjawisko Gibbsa i przeuczenie , chociaż przeszycie jest „po drugiej stronie” pytania).

Ładne pytanie i pouczające odpowiedzi. Chciałem podzielić się kilkoma spostrzeżeniami w następujący sposób. Istnieją również ortogonalne zasady wielomianowe, takie jak zasady wielomianowe Legendre'a (w przeciwieństwie do zasad jednomianowych), które są bardziej stabilne w dopasowywaniu wielomianów wyższego stopnia. Ponieważ zasady cynkowe stosowane we wzorze interpolacji Shannona (które faktycznie mogą być również postrzegane jako operacja splotu, a zatem operacja filtrowania) są ortogonalnymi zasadami dla ograniczonej przestrzeni Hilberta, ortogonalne podstawy wielomianowe mogą służyć do przybliżenia większej klasy funkcji spoza zakresu przestrzeń wraz z mocą ortogonalności.

Filtrowanie wielomianowe (nie interpolacja) istnieje również w literaturze chemicznej od 1960 r. Dobra nota wykładowa na temat ponownego odwiedzania tego tematu została napisana przez R.Schafera zatytułowana „Czym jest filtr Savitzky'ego-Golaya”, link: http: // www-inst. eecs.berkeley.edu/~ee123/fa12/docs/SGFilter.pdf