Czy nieszczelny integrator to to samo, co filtr dolnoprzepustowy?

Równanie rządzące nieszczelnym integratorem (przynajmniej według Wikipedii) jest

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$.

Jest nieszczelnym integratorem w czasie ciągłym, a więc tym samym, co filtr dolnoprzepustowy ze stałą czasową $A$, do pewnego skalowania wejścia?

Tak zwany nieszczelny integrator to filtr pierwszego rzędu ze sprzężeniem zwrotnym. Znajdźmy jego funkcję przesyłania, zakładając, że dane wejściowe to$x(t)$ i wynik $y(t)$:

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

gdzie $\mathcal{L}$oznacza zastosowanie transformaty Laplace'a . Idąc dalej:

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

(wykorzystując tę ​​właściwość transformaty Laplace'a $\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$, przy założeniu, że $y(0) = 0$).

Ten system z funkcją przesyłania $H(s)$, ma jeden biegun na $s = -A$. Pamiętaj, że jego pasmo przenoszenia przy częstotliwości$\omega$ można znaleźć, wynajmując $s=j\omega$:

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

Aby uzyskać przybliżony obraz tej odpowiedzi, najpierw pozwól $\omega \to 0$:

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

Tak więc system jest zysk DC jest odwrotnie proporcjonalna do współczynnika sprzężenia . Następnie pozwól :$A$$w \to \infty$

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

Pasmo przenoszenia systemu spada zatem do zera dla wysokich częstotliwości. Wynika to z surowego prototypu filtra dolnoprzepustowego. Aby odpowiedzieć na inne pytanie dotyczące stałej czasowej, warto sprawdzić odpowiedź systemu w dziedzinie czasu. Odpowiedź impulsową można znaleźć poprzez odwrotną transformację funkcji przenoszenia:

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

gdzie jest funkcją kroku Heaviside . Jest to bardzo powszechna transformacja, którą często można znaleźć w tabelach transformat Laplace'a . Ta odpowiedź impulsowa jest funkcją rozkładu wykładniczego , która zwykle jest zapisywana w następującym formacie:$u(t)$

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

gdzie jest zdefiniowane jako stała czasowa funkcji. Zatem w twoim przykładzie stała czasowa systemu to .$\tau$$\tau = \frac{1}{A}$

Odpowiedź częstotliwościowa jest taka sama, ale aplikacja jest inna:

• Dzięki filtrowi dolnoprzepustowemu twój sygnał znajduje się w paśmie. Częstotliwość odcięcia filtra jest ustawiona powyżej najwyższej częstotliwości, którą chcesz utrzymać w swoim sygnale.
• Dzięki nieszczelnemu integratorowi twój sygnał znajduje się w paśmie stop. Częstotliwość odcięcia filtra jest ustawiona poniżej najniższej częstotliwości w twoim sygnale.

Również integratory są zawsze pierwszego rzędu, podczas gdy filtry dolnoprzepustowe mogą być dowolnego rzędu.