Bezstronny estymator z minimalną wariancją dla

10

Niech będzie losową próbką o rozkładzie dla . To znaczy,X1,...,XnGeometric(θ)0<θ<1

pθ(x)=θ(1θ)x1I{1,2,...}(x)

Znajdź obiektywny estymator o minimalnej wariancji dlag(θ)=1θ

Moja próba:

Ponieważ rozkład geometryczny pochodzi z rodziny wykładniczej, statystyki jest kompletna i wystarczająca dla . Ponadto, jeśli jest estymatorem dla , jest on bezstronny. Dlatego według twierdzenia Rao-Blackwella i twierdzenia Lehmanna-Scheffégo jest estymatorem, którego szukamy.

Xi
θ
T(X)=X1
g(θ)
W(X)=E[X1|Xi]

Mamy następujące:

W(X)=i=1tiP(X1=i|Xi=t)=i=1tiP(i2Xi=ti)P(X1=i)P(i1Xi=t)

Ponieważ zmienne mają tę samą geometrię, oba rozkłady sum są ujemnymi dwumianami. Ale mam kłopoty, aby uprościć współczynniki dwumianowe i dać ostateczną odpowiedź w lepszej formie, jeśli to możliwe. Wpuld byłbym zadowolony, gdybym mógł uzyskać pomoc.

Dzięki!

Edycja: Nie sądzę, że rozumiecie moje wątpliwości: Myślę, że zrobiłem wszystkie właściwe kroki, może zapomniałem tylko o funkcji wskaźnika. Oto co zrobiłem:

...=i=1ti(ti1n2)θni(1θ)tin+1θ(1θ)i1(t1n1)θn(1θ)tn=i=1ti(ti1n2)(t1n1)

Jak powiedziałem, mam problemy z uproszczeniem tego i ze wskaźnikiem somatory

Giiovanna
źródło

Odpowiedzi:

4

Rzeczywiście, dla wariantu Geometryczny , , a twierdzenie Rao-Blackwella sugeruje, że to unikatowy estymator obiektywny dla minimalnej wariancji. Ale zamiast próbować bezpośrednio obliczyć to warunkowe oczekiwanie, można zauważyć, że stąd, że Nawiasem mówiąc, od czasuG(θ)X

Eθ[X]=1/θ=g(θ)
θ^(T)=Eθ[X1|i=1nXi=T]
Eθ[X1|i=1nXi=T]==Eθ[Xn|i=1nXi=T]
Eθ[X1|i=1nXi=T]=1ni=1nEθ[Xi|i=1nXi=T]=Tn
j2Xj jest ujemnym stąd ostateczna suma powinna be Neg(n1,θ)
P(j2Xj=m)=(m1n2)θn1(1θ)mn+1Im>n1
i=1tn+1i(ti1n2)/(t1n1)
Xi'an
źródło