Załóżmy, że rzetelna moneta jest rzucana wielokrotnie, dopóki głowa nie zostanie zdobyta po raz pierwszy.
- Jaka jest oczekiwana liczba rzutów, które będą wymagane?
- Jaka jest oczekiwana liczba ogonów, które zostaną uzyskane przed uzyskaniem pierwszej głowy?
probability
self-study
expected-value
bernoulli-distribution
geometric-distribution
nicole900
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Można na nie odpowiedzieć, stosując następujący rozkład geometryczny :
Liczbę awarii k - 1 przed pierwszym sukcesem (główkami) z prawdopodobieństwem sukcesu p („główkami”) podaje:
gdzie k jest całkowitą liczbą rzutów, w tym pierwszymi „główkami” kończącymi eksperyment.
A oczekiwana wartość X dla danego p wynosi .1/p=2
Wyprowadzenie oczekiwanej wartości można znaleźć tutaj . Ostatnie kroki pozostawione domyślnie powinny wyglądać następująco:
które należy podłączyć do wyrażenia:ddr11−r=1(1−r)2
. Przyr=1-pupraszcza sięE(X)=p1−p∑x=1∞x rx=p1−p r (ddr11−r)=p1−p r 1(1−r)2 r=1−p
, uzasadniając powyższe użycie.]E(X)=1p
Alternatywnie, moglibyśmy zastosować ujemny rozkład dwumianowy interpretowany jako liczba awarii przed pierwszym sukcesem. Funkcja masy prawdopodobieństwa jest podawana jako p (liczba niepowodzeń, n , przed osiągnięciem r sukcesów | przy pewnym prawdopodobieństwie, p , sukcesu w każdej próbie Bernoulliego):
Oczekiwaną liczbę prób, n + r określa ogólny wzór:
Podane nasze znanych parametrów: R = 1 i P = 0,5 ,
Dlatego możemy spodziewać się, że wykonamy dwa rzuty, zanim zdobędziemy pierwszą głowę, a spodziewana liczba ogonów to .E(n+r)−r=1
Możemy uruchomić symulację Monte Carlo, aby to udowodnić:
źródło
And the expected value of
for a given
is
Zapisz te oczekiwania na odpowiednich biletach: są to wartości biletów.
Trzy rzeczy, które wiemy to:
Szansa na losowanie biletu „Stop” (z wartością0 p
Oczekiwanie na to pojedyncze losowanie jest z definicji sumą wartości ważonych prawdopodobieństwem na wszystkich rodzajach biletów:
Prowadzi to do niezwykle wydajnego sposobu symulacji rozkładu długości gier . Oto
R
kod. Zapisuje „głowy” jako prawdziwe wartości w tablicy boolowskiej i oblicza rzuty między kolejnymi prawdziwymi wartościami.set.seed(17)
źródło
Niech X będzie wymaganą liczbą rzutów monetą do momentu uzyskania głowy. Musimy więc obliczyć E (X) (tj. Oczekiwaną wartość X).
Możemy uzależnić E (X) od tego, na czym polega nasz pierwszy rzut. Niech E (X | H) oznacza liczbę pozostałych rzutów monetą, biorąc pod uwagę, że mam przewagę przy pierwszym rzucie. Podobnie, niech E (X | T) oznacza liczbę pozostałych rzutów monetą, biorąc pod uwagę, że dostałem ogon przy pierwszym rzucie.
W pierwszym etapie uwarunkowania mamy
Now, asE(X|H) denoted the remaining flips after receiving head on the first, it will be equal to 0 as I don't need to flip after getting 1 head.
And,E(X|T)=E(X) , as we did not make any progress towards getting 1 head.
So,E(X)=12∗(1+0)+12∗(1+E(X))
=>E(X)=2
źródło