Oczekiwana liczba rzutów do pierwszej głowy

18

Załóżmy, że rzetelna moneta jest rzucana wielokrotnie, dopóki głowa nie zostanie zdobyta po raz pierwszy.

  • Jaka jest oczekiwana liczba rzutów, które będą wymagane?
  • Jaka jest oczekiwana liczba ogonów, które zostaną uzyskane przed uzyskaniem pierwszej głowy?
nicole900
źródło
2
Ten link zawiera odpowiedzi na oba pytania: en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution
swmo
2
Jeśli jest to pytanie do samodzielnej nauki, dodaj tag.
Xi'an

Odpowiedzi:

17

Można na nie odpowiedzieć, stosując następujący rozkład geometryczny :

Liczbę awarii k - 1 przed pierwszym sukcesem (główkami) z prawdopodobieństwem sukcesu p („główkami”) podaje:

p(X=k)=(1p)k1p

gdzie k jest całkowitą liczbą rzutów, w tym pierwszymi „główkami” kończącymi eksperyment.

A oczekiwana wartość X dla danego p wynosi .1/p=2

Wyprowadzenie oczekiwanej wartości można znaleźć tutaj . Ostatnie kroki pozostawione domyślnie powinny wyglądać następująco:

które należy podłączyć do wyrażenia:ddr11r=1(1r)2

. Przyr=1-pupraszcza sięE(X)=p1px=1x rx=p1p r (ddr11r)=p1p r 1(1r)2r=1p

, uzasadniając powyższe użycie.]E(X)=1p

Alternatywnie, moglibyśmy zastosować ujemny rozkład dwumianowy interpretowany jako liczba awarii przed pierwszym sukcesem. Funkcja masy prawdopodobieństwa jest podawana jako p (liczba niepowodzeń, n , przed osiągnięciem r sukcesów | przy pewnym prawdopodobieństwie, p , sukcesu w każdej próbie Bernoulliego):

p(n;r,p)=(n+r1r1)pr(1p)n

Oczekiwaną liczbę prób, n + r określa ogólny wzór:

r(1p)

Podane nasze znanych parametrów: R = 1 i P = 0,5 ,

E(n+r;1,0.5)=r1p=110.5=2

Dlatego możemy spodziewać się, że wykonamy dwa rzuty, zanim zdobędziemy pierwszą głowę, a spodziewana liczba ogonów to .E(n+r)r=1

Możemy uruchomić symulację Monte Carlo, aby to udowodnić:

   set.seed(1)

p <- 1/2

reps <- 10000                         # Total number of simulations.

tosses_to_HEAD <- 0                   # Setting up an empty vector to add output to.

for (i in 1:reps) {
  head <- 0                           # Set the variable 'head' to 0 with every loop.
  counter <- 0                        # Same forlocal variable 'counter'.
  while (head == 0) {
    head <- head + rbinom(1, 1, p)    # Toss a coin and add to 'head'
    counter <- counter + 1            # Add 1 to 'counter'
  }
  tosses_to_HEAD[i] <- counter        # Append number in counter after getting heads.
}

mean(tosses_to_HEAD)
[1] 2.0097
Antoni Parellada
źródło
1
G(p)
Xi'an
And the expected value of X for a given p is 1/p
Dilip Sarwate
Jest ładna pochodna na math.stackexchange.com/questions/235927/... Ale mogę dołączyć koniec tej pochodnej do mojej odpowiedzi.
Antoni Parellada,
4

0x

Zapisz te oczekiwania na odpowiednich biletach: są to wartości biletów.

Trzy rzeczy, które wiemy to:

  1. Szansa na losowanie biletu „Stop” (z wartością 0p

  2. x1p

  3. Oczekiwanie na to pojedyncze losowanie jest z definicji sumą wartości ważonych prawdopodobieństwem na wszystkich rodzajach biletów:

    p×0+(1p)×x=(1p)x.

x

x=1+(1p)x.

xx1


npnhpnnxn/hn/(h+1)n/(pn)x

Prowadzi to do niezwykle wydajnego sposobu symulacji rozkładu długości gier . Oto Rkod. Zapisuje „głowy” jako prawdziwe wartości w tablicy boolowskiej i oblicza rzuty między kolejnymi prawdziwymi wartościami.

p <- 1/3                                           # Set the chance of heads
tosses <- runif(1e6) < p                           # Make a million tosses
sim <- diff(c(TRUE, which(tosses)))                # Compute game lengths
hist(sim, xlab="Game length", main="Distribution") # Graph their distribution
mean(sim)                                          # Report the average length

17set.seed(17)x

Whuber
źródło
Czy możesz mi pomóc zrozumieć, dlaczego „x” w grze rysunkowej i „x” w drugim równaniu reprezentują to samo? Nie mam pojęcia, jak uzyskać drugie równanie. Dziękuję Ci bardzo.
Światło
@ Light Drugie równanie wyjaśniono w poprzedzającym go akapicie.
whuber
♦ Dziękuję za odpowiedź. Przeczytałem definicję x i akapit, który powtarzałeś wielokrotnie, ale nadal nie rozumiem. Pozwól mi powiedzieć, że moje zrozumienie i pls pomóż mi wiedzieć, jeśli źle rozumiem coś. Z mojego zrozumienia, x jest „dodatkową” spodziewaną liczbą w losowaniu losów, która jest inną grą niż gra oryginalna, ponieważ oczekiwanie (nazwijmy to „E”) gry na monety obejmuje pierwsze podrzucanie. Moim zdaniem E powinno być „x + 1”, ale to nie to samo. W równaniu uczyniłeś x i E tym samym, co powoduje, że jestem zdezorientowany. Dziękuję.
Światło
2

Niech X będzie wymaganą liczbą rzutów monetą do momentu uzyskania głowy. Musimy więc obliczyć E (X) (tj. Oczekiwaną wartość X).

Możemy uzależnić E (X) od tego, na czym polega nasz pierwszy rzut. Niech E (X | H) oznacza liczbę pozostałych rzutów monetą, biorąc pod uwagę, że mam przewagę przy pierwszym rzucie. Podobnie, niech E (X | T) oznacza liczbę pozostałych rzutów monetą, biorąc pod uwagę, że dostałem ogon przy pierwszym rzucie.

W pierwszym etapie uwarunkowania mamy

E(X)=12(1+E(X|H))+12(1+E(X|T))

Now, as E(X|H) denoted the remaining flips after receiving head on the first, it will be equal to 0 as I don't need to flip after getting 1 head.

And, E(X|T)=E(X), as we did not make any progress towards getting 1 head.

So, E(X)=12(1+0)+12(1+E(X))

=> E(X)=2

grijesh agrawal
źródło