Niemal na pewno konwergencja nie oznacza pełnej konwergencji

10

Mówimy X1,X2, zbiegają się całkowicie do X jeśli dla każdego ϵ>0 n=1P(|XnX|>ϵ)<.

Z lematem Borela Cantellego można łatwo udowodnić, że pełna zbieżność oznacza prawie pewną zbieżność.

Szukam przykładu, na który prawie na pewno nie udało się udowodnić zbieżności z Borel Cantelli. Jest to sekwencja zmiennych losowych, która zbiega się prawie na pewno, ale nie całkowicie.

Manuel
źródło

Odpowiedzi:

9

Pozwolić Ω=(0,1) z sigma-algebrą Borela F i jednolita miara μ. Definiować

Xn(ω)=2+(1)n when ω1/n

i Xn(ω)=0Inaczej. TheXn są oczywiście mierzalne w przestrzeni prawdopodobieństwa (Ω,F,μ).

Postać

Dla każdego ωΩ i wszystkich N>1/ω tak jest Xn(ω)=0. Zatem z definicji sekwencja(Xn) zbiega się do 0 (nie tylko prawie na pewno!).

Jednak kiedykolwiek 0<ϵ<1, Pr(Xn>ϵ)=Pr(Xn0)=1/nskąd

n=1Pr(Xn>ϵ)=n=11n,

co różni się do .

Whuber
źródło
1
Wielkie dzięki!. Dwa komentarze, czy istnieje powód, aby zdefiniować zamiast ? po drugie, czy powinno to być ?
Xn(ω)=2+(1)n when ω1/n
Xn(ω)=1 when ω1/n
Pr(Xn>ϵ)
Manuel
1
1. Bez dobrego powodu. Podczas zastanawiania się nad tym użyłem terminu jako przypomnienia, że ​​w takich momentach może nie być zbieżności. 2. I ustalony typo, dzięki. ±1<
whuber
Czy niezależny? Wydają mi się, że według lematu Drugiego Borela Cantellego konwergencja nie jest prawie pewna. Xn
Rdrr
@Rdrr Nie powinieneś mieć problemów z wykazaniem, że nie jest niezależny. Xn
whuber