Załóżmy, że

10

Jak sugerowano w tytule. Załóżmy że są ciągłymi i losowymi zmiennymi z pdf . Rozważmy zdarzenie, w którym , , a zatem oznacza, że ​​sekwencja zmniejsza się po raz pierwszy. Jaka jest zatem wartość ?X1,X2,,XnfX1X2XN1>XNN2NE[N]

Najpierw próbowałem ocenić . Mam Podobnie otrzymałem . Jak dostaje duży, obliczenie zostanie bardziej skomplikowane i nie mogę znaleźć wzór. Czy ktoś może zasugerować, jak mam postępować?P[N=i] P[N=4]=1

P[N=2]=f(x)F(x)dx=F(x)22|=12P[N=3]=f(x)xf(y)F(y)dydx=f(x)1F(x)22dx=F(x)F(x)3/32|=13
iP[N=4]=18i
Hao Kapusta
źródło
Czy to pytanie z kursu lub podręcznika? Jeśli tak, dodaj [self-study]tag i przeczytaj jego wiki .
Silverfish,
1
Wskazówka. Rozważ rangi, które powinny być losowo permutowane. Jest układy rang 1 , 2 , , n . Jest tylko jeden permutacji, w którym X i są coraz większe. Dla n 2 istnieją n - 1 obserwacji, które nie są maksimum, które możemy następnie wyjąć i umieścić na końcu, aby wygenerować sekwencję, która rośnie aż do przedostatniej pozycji, a następnie maleje. Stąd prawdopodobieństwo, że jest to n - 1 z ...? To powinno rozwiązać Ci się z 1 / 2n!1,2,,nXin2n1n11/2, i 1 / 8 , które stwierdzono, i daje wzór proste do uogólnić. Suma jest dość łatwa. 1/31/8
Silverfish,
(A jeśli nie możesz odgadnąć wyniku szeregu, zsumujesz go, aby znaleźć średnią, być może powinieneś przeprowadzić jego symulację. Rozpoznasz pierwszą parę miejsc po przecinku.)
Silverfish,
To problem z dzisiejszego egzaminu. Dziękuję za podpowiedź, teraz wymyśliłem, jak ją rozwiązać.
Hao Kapusta
2
stats.stackexchange.com/questions/51429/... jest zasadniczo duplikatem. Chociaż dotyczy to tylko jednolitego rozkładu, prawie banalne jest wykazanie, że dwa pytania są równoważne. (Jeden sposób: zastosuj transformatę całkową prawdopodobieństwa do .)Xi
whuber

Odpowiedzi:

9

{Xi}i1

N=min{n:Xn1>Xn},
NnX1X2Xn1
Pr(Nn)=Pr(X1X2Xn1)=1(n1)!,()
E[N]=n=1Pr(Nn)=e2.71828

PS Ludzie pytali o dowód . Ponieważ sekwencja jest wymienna, musi być tak, że dla każdej permutacji , mamy Ponieważ mamymożliwe permutacje, wynik jest następujący.()π:{1,,n1}{1,,n1}

Pr(X1X2Xn1)=Pr(Xπ(1)Xπ(2)Xπ(n1)).
(n1)!

Zen
źródło
2
Podoba mi się to - jest to przypomnienie, że często nie musimy szukać indywidualnego aby znaleźć średnią Y, i może być bardziej pomocne, aby przejść bezpośrednio do . Pr ( Y y )Pr(Y=y)Pr(Yy)
Silverfish
+1 - ale to nie odpowiada na pytanie, które zakłada daną skończoną liczbę . Niemniej jednak technika ta w oczywisty sposób dotyczy przypadku skończonego. Xi
whuber
1
Trochę mylące, prawda? PO wspomina o „sekwencji”. Ale masz rację. Nawiasem mówiąc, czy jest dla ciebie intuicyjne, że wynik powinien być „uniwersalny” (tak jak jest), w tym sensie, że nie zależy od rozkładu (identycznie rozproszonego) ? Xi
Zen
1
W rzeczywistości niezależność nie jest potrzebna. Wymienność wystarczy. Rezultat jest silniejszy. Dodam to do mojej odpowiedzi.
Zen
3
Jest intuicyjny, że jest uniwersalny dla zmiennych ciągłych . Jednym ze sposobów uczynienia tego oczywistym jest uznanie, że zdarzenie pozostaje niezmienione, np. Po zastosowaniu transformaty całkowej prawdopodobieństwa, co ogranicza ją do przypadku, w którym zmienne mają wspólny rozkład równomierny.
whuber
8

Jak sugeruje Silverfish, zamieszczam poniższe rozwiązanie. I

P[N=i]=P[X1X2Xi1>Xi]=P[X1X2Xi1]P[X1X2Xi1Xi]=1(i1)!1i!
P[Ni]=1P[N<i]=1(112!+12!13!++1(i2)!1(i1)!)=1(i1)!

Zatem .E[N]=i=1P[Ni]=i=11(i1)!=e

Hao Kapusta
źródło
7

Alternatywny argument: jest tylko jedna kolejność która rośnie zmożliwe permutacje . Interesują nas porządki, które rosną aż do przedostatniej pozycji, a następnie maleją: to wymaga, aby maksimum znajdowało się w pozycji , a jeden z pozostałych znajdował się w pozycji końcowej. Ponieważ istnieje sposobów na wybranie jednego z pierwszych terminów w naszej uporządkowanej sekwencji i przeniesienie go do ostatecznej pozycji, prawdopodobieństwo jest następujące:Xin!X1,,Xnn1n1Xin1n1

Pr(N=n)=n1n!

Uwaga , i więc jest to zgodne z wynikami znalezionymi przez integrację.Pr(N=2)=212!=12Pr(N=3)=313!=13Pr(N=4)=414!=18

Aby znaleźć oczekiwaną wartość , możemy użyć:N

E(N)=n=2nPr(N=n)=n=2n(n1)n!=n=21(n2)!=k=01k!=e

(Aby uczynić podsumowanie bardziej oczywistym, użyłem ; dla czytelników niezaznajomionych z tą sumą, weź serię Taylora i zastąp ).e x = k = 0 x kk=n2 x=1ex=k=0xkk!x=1

Możemy sprawdzić wynik przez symulację, oto kod w R:

firstDecrease <- function(x) {
    counter <- 2
    a <- runif(1)
    b <- runif(1)
    while(a < b){
        counter <- counter + 1
        a <- b
        b <- runif(1)
    }
    return(counter)
}

mean(mapply(firstDecrease, 1:1e7))

Wrócił 2.718347, wystarczająco blisko, aby 2.71828mnie zadowolić.

Silverfish
źródło
-1

EDYCJA: Moja odpowiedź jest niepoprawna. Zostawiam to jako przykład tego, jak łatwo pozornie proste pytanie takie jest błędnie zinterpretowane.

Nie sądzę, by twoja matematyka była poprawna dla przypadku . Możemy to sprawdzić za pomocą prostej symulacji:P[N=4]

n=50000
flag <- rep(NA, n)
order <- 3
for (i in 1:n) {
  x<-rnorm(100)
  flag[i] <- all(x[order] < x[1:(order-1)])==T
}
sum(flag)/n

Daje nam:

> sum(flag)/n
[1] 0.33326

Zmiana orderterminu na 4 daje nam:

> sum(flag)/n
[1] 0.25208

I 5:

> sum(flag)/n
[1] 0.2023

Jeśli więc ufamy naszym wynikom symulacji, wygląda na to, że wzór jest taki, że . Ale ma to również sens, ponieważ tak naprawdę pytasz, jakie jest prawdopodobieństwo, że jakakolwiek obserwacja w podzbiorze wszystkich twoich obserwacji jest obserwacją minimalną (jeśli zakładamy, to znaczy, że zakładamy wymienność, a więc kolejność jest dowolna ). Jedno z nich musi być minimalne, więc tak naprawdę pytanie brzmi: jakie jest prawdopodobieństwo, że dowolna obserwacja wybrana losowo jest minimalna. To tylko prosty dwumianowy proces.P[N=X]=1x

Dalton Hance
źródło
1
Xnn1Xin1
Myślę, że to coś więcej niż tylko niewielka błędna interpretacja. Masz rację, że się mylę.
Dalton Hance