Jak obliczyć dla statystyk zamówień o rozkładzie jednolitym?

9

Próbuję rozwiązać problem z moją tezą i nie widzę, jak to zrobić. Mam 4 obserwacje losowo wzięte z jednolitego rozkładu. Chcę obliczyć prawdopodobieństwo, że . jest statystyką i-tego rzędu (biorę statystykę porządku, aby moje obserwacje były uszeregowane od najmniejszej do największej). Rozwiązałem to dla prostszej sprawy, ale tutaj zagubiłem się, jak to zrobić.(0,1)3X(1)X(2)+X(3)X(i)

Wszelka pomoc byłaby mile widziana.

sev
źródło

Odpowiedzi:

12

Zapisz statystyki zamówienia jako , . Zacznij od zauważenia, że implikuje(x1,x2,x3,x4)0x1x2x3x41x1x2

Pr[3x1x2+x3]=1Pr[3x1<x2+x3]=1Pr[x1min(x2,x2+x33)].

To ostatnie zdarzenie dzieli się na dwa rozłączne zdarzenia w zależności od tego, które z i jest większe:x2(x2+x3)/2

Pr[x1min(x2,x2+x33)]=Pr[x2x32,x1x2]+Pr[x32x2x3,x1x2+x33].

Ponieważ rozkład połączeń jest jednolity na zbiorze , o gęstości ,0x1x2x3x414!dx4dx3dx2dx1

Pr[x2x32,x1x2]=4!01dx40x4dx30x3/2dx20x2dx1=14

i

Pr[x32x2x3,x1x2+x33]=4!01dx40x4dx3x3/2x3dx20(x2+x3)/2dx1=712.

(Każda całka jest łatwa do wykonania jako iterowana całka; uwzględniane są tylko całki wielomianowe).

Pożądane prawdopodobieństwo wynosi zatem = .1(1/4+7/12)1/6

Edytować

Sprytniejsze rozwiązanie (które upraszcza pracę) wynika z rozpoznania, że ​​gdy ma iid rozkłady wykładnicze, , a następnie (pisząc ) , skalowane sumy częścioweyj1jn+1y1+y2++yn+1=Y 

xi=j=1iyj/Y,

1in , są dystrybuowane jak statystyki jednolitego zamówienia. Ponieważ jest prawie na pewno dodatnia, łatwo wynika z tego, że dla dowolnego ,Y n3

Pr[3x1x2+x3]=Pr[3y1Yy1+y2Y+y1+y2+y3Y]=Pr[3y1(y1+y2)+(y1+y2+y3)]=Pr[y12y2+y3]=0exp(y3)0exp(y2)2y2+y3exp(y1)dy1dy2dy3=0exp(y3)0exp(y2)[exp(2y2y3)]dy2dy3=0exp(2y3)dy30exp(3y2)dy2=1213=16.
Whuber
źródło
Bardzo dziękuję za pomoc! Z powodu tego problemu byłem zablokowany w swoich badaniach, więc jeszcze raz dziękuję!
sev
2
+1 Szczególnie docenia się punkt widzenia dodany w ostatniej edycji
Dilip Sarwate,