Pdf kwadratu standardowej normalnej zmiennej losowej [zamknięty]

Mam ten problem, w którym muszę znaleźć pdf . Wiem tylko, że ma rozkład . Jakim rodzajem dystrybucji jest ? Taki sam jak ? Jak znaleźć plik pdf? X N ( 0 , 1 ) Y = X $Y = X^2$$X$$N(0,1)$$Y = X^2$$X$

Natknąłeś się na jeden z najbardziej znanych wyników teorii prawdopodobieństwa i statystyki. Napiszę odpowiedź, chociaż jestem pewien, że pytanie zostało już zadane (i udzielono odpowiedzi) na tej stronie.

Po pierwsze, zauważ, że pdf $Y = X^2$ nie może być taki sam jak $X$ ponieważ $Y$ będzie nieujemny. Aby uzyskać rozkład $Y$ , możemy użyć trzech metod, a mianowicie techniki mgf, techniki cdf i techniki transformacji gęstości. Zaczynajmy.

Technika funkcji generowania momentu .

Lub charakterystyczna technika funkcyjna, cokolwiek chcesz. Musimy znaleźć mgf dla $Y=X^2$ . Musimy więc obliczyć oczekiwania

$$E\left[e^{tX^2}\right]$$

Korzystanie z ustawy nieświadomości statystyk , wszystko co musisz zrobić, to obliczyć tę całkę dystrybucji $X$ . Dlatego musimy obliczyć

$$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$$

gdzie w ostatnim wierszu porównaliśmy całkę z całką Gaussa ze średnią zero i wariancją $\frac{1}{\left(1-2t\right)}$ . Oczywiście integruje się to z jedną ponad rzeczywistą linią. Co możesz teraz zrobić z tym wynikiem? Cóż, możesz zastosować bardzo złożoną odwrotną transformację i określić pdf, który odpowiada tej MGF lub możesz po prostu rozpoznać ją jako MGF rozkładu chi-kwadrat z jednym stopniem swobody. (Przypomnijmy, że rozkład chi-kwadrat jest szczególnym przypadkiem rozkładu gamma z$\alpha = \frac{r}{2}$ ,$r$oznacza stopnie swobody, a$\beta = 2$).

Technika CDF

Jest to być może najłatwiejsza rzecz, jaką możesz zrobić i sugeruje to Glen_b w komentarzach. Zgodnie z tą techniką obliczamy

$$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$$

a ponieważ funkcje dystrybucji definiują funkcje gęstości, po otrzymaniu uproszczonego wyrażenia, po prostu różnicujemy względem $y$ aby uzyskać nasz plik pdf. Mamy więc

$$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$$

gdzie $\Phi(.)$ oznacza CDF standardowej zmiennej normalnej. Rozróżniamy względem $y$ ,

$$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$$

gdzie $\phi(.)$ jest teraz pdf standardowej zmiennej normalnej i wykorzystaliśmy fakt, że jest ona symetryczna względem zera. W związku z tym

$$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$$

który rozpoznajemy jako pdf rozkładu chi-kwadrat z jednym stopniem swobody (do tej pory możesz widzieć wzór).

Technika transformacji gęstości

W tym momencie możesz się zastanawiać, dlaczego nie używamy po prostu techniki transformacji, którą znasz, to znaczy, że dla funkcji $Y = g(X)$ mamy gęstość $Y$ podaną przez

$$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

dla $y$ w zakresie $g$ . Niestety, twierdzenie to wymaga przekształcenia jeden na jeden, co oczywiście nie ma tutaj miejsca. Rzeczywiście, widzimy, że dwie wartości $X$ dają tę samą wartość $Y$ , $g$ jest transformacją kwadratową. Dlatego to twierdzenie nie ma zastosowania.

Obowiązuje jednak jego rozszerzenie. W ramach tego rozszerzenia możemy rozkładać podporę $X$ (podparcie oznacza punkty, w których gęstość jest różna od zera), na zbiory rozłączne, tak że $Y= g(X)$ definiuje transformację jeden na jeden z tych zbiorów do zakresu z $g$ . Gęstość $Y$ jest następnie podawana przez sumę wszystkich tych funkcji odwrotnych i odpowiadających im absolutnych jakobianów. W powyższej notacji

$$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

gdzie suma przebiega przez wszystkie funkcje odwrotne. Ten przykład wyjaśni.

Dla $y = x^2$ mamy dwie funkcje odwrotne, mianowicie $x = \pm \sqrt{y}$ z odpowiadającymi im absolutną jakobian$\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$ a więc znaleziono odpowiedni plik pdf

$$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$$

pdf rozkładu chi-kwadrat z jednym stopniem swobody. Na marginesie uważam, że ta technika jest szczególnie przydatna, ponieważ nie musisz już uzyskiwać CDF z transformacji. Ale oczywiście są to osobiste upodobania.

---

Możesz więc iść wieczorem spać całkowicie pewny, że kwadrat standardowej normalnej zmiennej losowej podąża za rozkładem chi-kwadrat z jednym stopniem swobody.