Jeszcze jedno centralne pytanie dotyczące limitu

Niech będzie sekwencją niezależnych zmiennych losowych Bernoulliego z Ustaw Pokaż, że zbiega się w rozkładzie do standardowej zmiennej normalnej gdy dąży do nieskończoności.$\{X_n:n\ge1\}$

$$P\{X_k=1\}=1-P\{X_k=0\}=\frac{1}{k}.$$ $$S_n=\sum^{n}_{k=1}\left(X_k-\frac{1}{k}\right), \ B_n^2=\sum^{n}_{k=1}\frac{k-1}{k^2}$$ $\frac{S_n}{B_n}$$Z$$n$

Moja próba użycia CLT Lyapunova, dlatego musimy pokazać, że istnieje taka, że $\delta>0$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{n}E[|X_k-\frac{1}{k}|^{2+\delta}]=0.$$

Więc ustaw $\delta=1$

$$\sum_{k=1}^{n}E\left|X_k-k^{-1}\right|^{3}=\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{3}{k^2}+\frac{4}{k^3}-\frac{2}{k^4}\right)$$ i $$B_n^3=\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right) \sqrt{\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right)}$$

Oceniając duże n na komputerze, pokazuje, w jaki sposób zarówno $\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3} \to \infty$ i $B_n^3 \to \infty$ jak $n \to \infty$ . Ale $B_n^3$ rośnie szybciej niż $B_n^2$ więc $\frac{\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3}}{B_n^3} \to 0$ . Czy ktoś może mi pomóc udowodnić, że ta konwergencja się utrzymuje?

Może to być pouczające, aby zademonstrować ten wynik na podstawie pierwszych zasad i podstawowych wyników , wykorzystując właściwości kumulatywnych funkcji generujących (dokładnie tak, jak w standardowych dowodach Twierdzenia o granicy centralnej). Wymaga to zrozumienia tempa wzrostu uogólnionych liczb harmonicznych dla Te szybkości wzrostu są dobrze znane i łatwe do uzyskania w porównaniu z całkami : są zbieżne dla a poza tym logarytmicznie rozchodzą się dla .

$$H(n,s)=\sum_{k=1}^n k^{-s}$$ $s=1, 2, \ldots.$$\int_1^n x^{-s}dx$$s \gt 1$$s=1$

---

Niech i . Z definicji funkcja generowania skumulowanego (cgf) wynosi$n \ge 2$$1 \le k \le n$$(X_k - 1/k)/B_n$

$$\psi_{k,n}(t) = \log\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{X_k - 1/k}{B_n}t\right)\right) = -\frac{t}{k B_n} + \log\left(1 + \frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right).$$

Rozwinięcie szeregu prawej strony, uzyskane z rozwinięcia wokół , przyjmuje postać$\log(1+z)$$z=0$

$$\psi_{k,n}(t) = \frac{(k-1)}{2 k^2 B_n^2}t^2 + \frac{k^2 - 3k + 2}{6 k^3 B_n^3} t^3 + \cdots + \frac{k^{j-1} - \cdots \pm (j-1)!}{j! k^j B_n^j}t^j + \cdots.$$

Liczniki ułamków są wielomianami z wiodącym terminem . Ponieważ rozszerzenie dziennika jest całkowicie zbieżne dla , to rozszerzenie jest absolutnie zbieżne, kiedy$k$$k^{j-1}$$\left|\frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right| \lt 1$

$$\left|\exp(t/B_n) - 1\right| \lt k.$$

(W przypadku, gdy zbiega się wszędzie.) Dla ustalonej wartości i rosnących wartości (oczywista) rozbieżność oznacza, że ​​dziedzina zbieżności absolutnej rośnie dowolnie duża. Zatem dla każdego stałego wystarczająco dużego ekspansja ta zbiega się absolutnie.$k=1$$k$$n$$B_n$$t$$n$

Dla odpowiednio dużego możemy zatem zsumować indywidualny przez wyrażenie po terminie w potęgach aby otrzymać cgf ,$n$$\psi_{k,n}$$k$$t$$S_n/B_n$

$$\psi_n(t) = \sum_{k=1}^n \psi_{k,n}(t) = \frac{1}{2}t^2 + \cdots + \frac{1}{B_n^j}\left(\sum_{k=1}^n \left(k^{-1} - \cdots \pm (j-1)!k^{-j}\right)\right)\frac{t^j}{j} + \cdots.$$

Przyjmowanie terminów w sumach ponad pojedynczo wymaga oceny proporcjonalnych wyrażeń$k$

$$b(s,j) = \frac{1}{B_n^j}\sum_{k=1}^n k^{-s}$$

dla i . Korzystając z asymptotyków uogólnionych liczb harmonicznych wspomnianych we wstępie, łatwo to wynika$j \ge 3$$s=1, 2, \ldots, j$

$$B_n^2 = H(n,1) - H(n,2) \sim \log(n)$$

że

$$b(1,j) \sim (\log(n))^{1-j/2}\to 0$$

i (dla )$s \gt 1$

$$b(s,j) \sim (\log(n))^{-j/2}\to 0$$

gdy rośnie. W związku z tym wszystkie terminy w rozwinięciu poza zbieżne do zera, skąd zbieżne do dla dowolnej wartości . Ponieważ zbieżność cgf implikuje zbieżność funkcji charakterystycznej, wnioskujemy z twierdzenia Levy'ego o ciągłości, że zbliża się do zmiennej losowej, której cgf wynosi 2/2 : jest to standardowa zmienna normalna, QED .$n$$\psi_n(t)$$t^2$$\psi_n(t)$$t^2/2$$t$$S_n/B_n$$t^2/2$

---

Analiza ta odkrywa, jak delikatna jest zbieżność: podczas gdy w wielu wersjach Centralnego Twierdzenia Granicznego współczynnik wynosi (dla ), tutaj współczynnik wynosi tylko : zbieżność jest znacznie wolniejsza W tym sensie sekwencja standardowych zmiennych „ledwo” staje się Normalna.$t^j$$O(n^{1-j/2})$$j \ge 3$$O(((\log(n))^{1-j/2})$

Tę powolną konwergencję możemy zobaczyć w serii symulacji. Histogramy wyświetlają niezależnych iteracji dla czterech wartości . Czerwone krzywe są wykresami standardowych funkcji gęstości normalnej do celów wizualnych. Chociaż ewidentnie istnieje stopniowa tendencja do normalności, nawet przy (gdzie jest wciąż znaczna), pozostaje znacząca nienormalność, o czym świadczy skośność (równa w tej próbce). (Nic dziwnego, że skośność tego histogramu jest zbliżona do , ponieważ właśnie tym jest termin w cgf.)$10^5$$n$$n=1000$$(\log(n))^{-1/2} \approx 0.38$$0.35$$(\log(n))^{-1/2}$$t^3$

Oto Rkod dla tych, którzy chcieliby dalej eksperymentować.

set.seed(17)
par(mfrow=c(1,4))
n.iter <- 1e5
for(n in c(30, 100, 300, 1000)) {
  B.n <- sqrt(sum(rev((((1:n)-1) / (1:n)^2))))
  x <- matrix(rbinom(n*n.iter, 1, 1/(1:n)), nrow=n, byrow=FALSE)
  z <- colSums(x - 1/(1:n)) / B.n
  hist(z, main=paste("n =", n), freq=FALSE, ylim=c(0, 1/2))
  curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Masz już świetną odpowiedź. Jeśli chcesz również wypełnić własny dowód, możesz argumentować w następujący sposób:

Ponieważ zbieżne dla wszystkich i rozbieżne dla ( tutaj ), możemy napisać$\sum_{k=1}^n 1/k^i$$i>1$$i = 1$

$$\begin{align}S(n):=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k} - \frac{3}{k^2} + \frac{4}{k^3} - \frac{3}{k^4} \right) = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1). \end{align}$$

Tym samym argumentem

$$B^2_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1).$$

W konsekwencji a zatem$S(n) / B_n^2 = O(1)$

$$S(n)/B_n^3 = O(1)(B_n^2)^{-1/2} \to 0,$$

co chcieliśmy pokazać.

Po pierwsze, zmienne losowe nie są identycznie rozmieszczone, jeśli rozkłady zależą od ;)$k$

Nie twojej notacji jako:$B_n$

• wielkie litery są zwykle zarezerwowane dla zmiennych losowych.
• to tylko suma wariancji, więc użyłbym notacji zawierającej symbol aby uczynić to oczywistym.$\sigma$

Jeśli chodzi o pytanie, nie wiem, czy jest to ćwiczenie, czy badanie i jakich narzędzi możesz użyć. Jeśli nie próbujesz ponownie udowodnić znanych twierdzeń, powiem tylko, że jest to centralne twierdzenie graniczne dla niezależnych, nie identycznie rozmieszczonych, ale równomiernie ograniczonych RV i nazwij to dniem. Nie mam dobrego źródła pod ręką, ale nie powinno być trudno go znaleźć, na przykład spójrz na /mathpro/29508/is-there-a-central-limit-theorem- for-granice-nie-identycznie-dystrybuowane-losowo .

Edycja: Mój zły, oczywiście, jednolicie ograniczony warunek nie wystarczy, potrzebujesz też

$$\sum_{k=1}^n \sigma_k^2 \to \infty$$