Jak dodać dwie zależne zmienne losowe?

13

Wiem, że nie mogę użyć splotu. Mam dwie losowe zmienne A i B i są one zależne. Potrzebuję funkcji dystrybucyjnej A + B

Mesko
źródło
4
Jeśli A i B są zależne, wówczas wymagany jest łączny rozkład A i B, aby otrzymać rozkład A + B.
vinux
1
Nie rozumiem twojego pytania. Co wiesz i dlaczego nie możesz użyć splotu?
Xi'an
Wiem, że funkcja dystrybuująca A i B. f A i B to dwie niezależne, ciągłe zmienne losowe, wtedy mogę znaleźć rozkład Z = A + B, biorąc splot f (A) ig (B): h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞ − ∞f (A) g (z-B) dA Ale co mogę zrobić, jeśli nie są niezależni? Przepraszam, jeśli to głupie pytanie.
Mesko
4
To nie jest głupie pytanie Mesko, ale ludzie zwracają uwagę, że potrzebuje więcej informacji. Odpowiedź zależy od tego, w jaki sposób i B nie są niezależne. Pełny opis tego podaje wspólna dystrybucja A i B , o co prosi vinux. Xi'an dokładniej sonduje, ale tak naprawdę szuka tego samego rodzaju informacji, aby pomóc ci robić postępy. ABAB
whuber

Odpowiedzi:

16

Jak wskazuje vinux, potrzebny jest wspólny rozkład i B , a odpowiedź OP Mesko „Wiem, że funkcja dystrybuująca A i B” nie jest oczywista, że ​​twierdzi, że zna wspólny rozkład A i B: może dobrze powiedzieć, że zna rozkład krańcowy A i B. Jednak zakładając, że Mesko zna rozkład łączny, odpowiedź jest podana poniżej.AB

Z całki splotu w komentarzu OP Mesko (która, nawiasem mówiąc, jest błędna), można wywnioskować, że Mesko jest zainteresowany ciągłymi zmiennymi losowymi i B ze wspólną funkcją gęstości prawdopodobieństwa f A , B ( a , b ) . W takim przypadku f A + B ( z ) = - f A , B ( a , z - a ) d a = ABfA,B(a,b) GdyAiBsą niezależne, funkcja gęstości złącza uwzględnia iloczyn funkcji gęstości brzeżnej:fA,B(a,z-a)=fA(a)fB(z-a)

fA+B(z)=fA,B(a,za)da=fA,B(zb,b)db.
ABfA,B(a,za)=fA(a)fB(za) i otrzymujemy bardziej znaną formułę splotu dla niezależnych zmiennych losowych. Podobny wynik dotyczy również dyskretnych zmiennych losowych.

Sprawy są bardziej skomplikowane, jeśli i B nie są razem ciągłe lub jeśli jedna zmienna losowa jest ciągła, a druga dyskretna. Jednakże, we wszystkich przypadkach, można zawsze znaleźć skumulowanego rozkładu prawdopodobieństwa K + B ( z ) z A + B w stosunku do całkowitej masy prawdopodobieństwa w strefie płaszczyzny określonej jako { ( a , b ) : a + b z }ABFA+B(z)A+B{(a,b):a+bz}i obliczyć funkcję gęstości prawdopodobieństwa lub funkcję masy prawdopodobieństwa, lub cokolwiek, z funkcji rozkładu. W rzeczywistości powyższy wzór uzyskuje się, pisząc jako podwójną całkę funkcji gęstości złącza w określonym obszarze, a następnie „różnicując pod znakiem całki”.FA+B(z)

Dilip Sarwate
źródło
Jest to związane z moim komentarzem i odpowiedzią na inne pytanie dotyczące wspólnych dystrybucji kilka dni temu.
Xi'an
1

Wcześniej nie wiem, czy to, co mówię, jest poprawne, ale utknąłem na tym samym problemie i próbowałem go rozwiązać w ten sposób:

fA,B(a,b)=(a+b)H(a,b)H(a+1,b+1)
fA,B(a,b)=(a+b)(H(a)H(a1))(H(b)H(b1))

Oto wolframowa prezentacja połączenia: A

Obliczając całkę mam: B

Wydrukowano: C

f(z)={z2for0z11(z1)2for1z20otherwise
R.Lac
źródło
Pytanie nie wydawało się wystarczająco szczegółowe na temat wspólnej dystrybucji, aby uzyskać odpowiedź. Jak wymyśliłeś jeden?
Michael R. Chernick
+1 za prawidłowe rozwiązanie rzekomego kontrprzykładu w odpowiedzi @ cdlg i wykazanie, że jeśli przeprowadzone poprawnie obliczenia dają poprawną odpowiedź, a nie błędne s skutkuje odpowiedzią cdlg. Nie mogę uwierzyć, że ta odpowiedź otrzymała dwa pozytywne głosy.
Dilip Sarwate