Procesy gaussowskie w domenie falkowej: czym jest kowariancja?

Czytałem Maraun i wsp. , „Niestacjonarne procesy gaussowskie w domenie falkowej: synteza, szacowanie i znaczące testowanie” (2007), która definiuje klasę niestacjonarnych GP, które mogą być określone przez multiplikatory w domenie falkowej. Realizacja jednego takiego GP to: gdzie jest białym szumem, jest ciągłą transformacją falkową w odniesieniu do falki , jest mnożnikiem (trochę jak współczynnik Fouriera) w skali i czasie i jest odwrotnością falkowej transformacji z rekonstrukcją fali elementarnej .

s (t) = {M.}_{h} m (b, za) {W.}_{sol} η (t),

$s(t) = M_h m(b,a) W_g \eta(t)\, ,$

η (t)

$\eta(t)$

W_{g}

$W_g$

g

$g$

m (b, a)

$m(b,a)$

a

$a$

b

$b$

M_{h}

$M_h$

h

$h$

Jednym z kluczowych rezultatów pracy jest to, że jeśli mnożniki zmieniają się tylko powoli, to sama realizacja jest jedynie „słabo” zależna od faktycznych wyborów i . Zatem określa proces. Następnie tworzą znaczące testy, które pomagają wnioskować z mnożników falek na podstawie realizacji. $m(b,a)$ $g$ $h$ $m(b,a)$

Dwa pytania:

1. Jak oceniamy standardowe prawdopodobieństwo GP, które wynosi ? $p(D) = \mathcal{N}(0,K)$

Sądzę, że skutecznie dokonujemy zmiany współrzędnych, więc gdzie to falki, a to (diagonalna?) Macierz współczynników falkowych . Używają jednak nieortonormalnego CWT, więc nie wiem, czy jest to poprawne. $K^{-1} = W^T M^{-1} W$ $W$ $M$ $m(a,b)$

2. W jaki sposób GP domeny wavelet może być powiązany z GP w czasie rzeczywistym ? W szczególności, czy możemy obliczyć jądro przestrzeni rzeczywistej (niestacjonarne) z ? $k$ $m(a,b)$

Dla porównania, jądrem stacjonarnych procesów gaussowskich jest podwójna Fouriera gęstości widmowej (twierdzenie Bochnera, patrz rozdział 4 Rasmussena) - co daje łatwy sposób przełączania między GP w przestrzeni rzeczywistej a GP w przestrzeni częstotliwości. Tutaj pytam, czy istnieje taki związek w domenie falkowej.

normal-distribution stochastic-processes gaussian-process fourier-transform wavelet cgreen
źródło

K_{g, h} (b - b / a, a / a) = W_{g, h} (b - b / a)

$K_{g,h}(b−b/a,a/a)=W_{g,h}(b−b/a)$

Odpowiedzi:

Proces jazdy, biały szum η (t), jest niezależny od wyboru podstawy. W CWT (w przeciwieństwie do skoków DWT w oktawach) występuje pewna redundancja, wąskie pasma fal zachodzą na siebie. „Cechą” testowaną pod kątem istotności jest wariancja (moc) obserwowana w wąskiej częstotliwości w krótkim czasie. To wyraźnie zależy matematycznie od wybranej falki, ale nie bardzo - węższe pasmo może wykryć wolniej zmieniające się funkcje z większą czułością, szersze pasmo jest bardziej responsywne, ale ma bardziej głośne tło i jest mniej szczegółowe.

Ponieważ mierzy to przestrzeń falkową, która jest zintegrowana w czasie trwania falki, napisana przez ciebie transformacja byłaby dla dowolnego „punktu w czasie”. Zasadniczo do odwrócenia CWT potrzebna jest informacja o fazie. Test Marauna ma zasadniczo władzę chi-kwadrat.
Nie. Maraun zależy od sygnału do szumu w paśmie częstotliwości w pewnym przedziale czasu, może to mieć wiele różnych realizacji w przestrzeni hałasu i jest niezależny od fazy. Jest wrażliwy na sygnał AR (1) w domenie falkowej przy określonej częstotliwości, tj. Oscylacja utrzymywana w czasie, np. Domena CWT będzie miała tendencję do tłumienia izolowanego skoku szumu szerokopasmowego.

James Prichard
źródło