Jeśli mam oczekiwaną wartość logarytmu RV, czy mogę uzyskać oczekiwaną wartość samego RV?

9

Zakładać, że E[log(X)] jest dane, czy mogę czerpać E[X] w formacie zamkniętym?

Theoden
źródło
Czy znasz rozkład log x lub x? Na przykład. jest jestxnormalnie dystrybuowany? W najbardziej ogólnym przypadku zxpo jakiejkolwiek arbitralnej dystrybucji nie będziesz mógł wiele powiedzieć.
Matthew Gunn,
Nie. Podana jest tylko średnia wartość log (x).
Theoden,
10
Prawie wszystko, co możesz powiedzieć, to E[log(x)]log(E[x])z powodu nierówności Jensena .
Matthew Gunn,

Odpowiedzi:

15

Nie.

Na przykład jeśli X następuje log normalny rozkład, gdzie log(X)N(μ,σ), następnie E[log(x)]=μ i jest niezależny od σ. Jednak jego średnia toE[X]=exp(μ+σ22). Oczywiście nie można uzyskaćσ liczba zależna od σ niezależny numer.

jwimberley
źródło
To ma sens. Potrzebuję więcej informacji.
Theoden,
4
Lub dla bardzo prostego przykładu, rozważ dyskretne zmienne losowe X (przyjmując wartość 1 z prawdopodobieństwem 1/3 i 10 z prawdopodobieństwem 2/3) i Y (przyjmując wartość 1 z prawdopodobieństwem 2/3 i 100 z prawdopodobieństwem 1/3) . Następnie E [log X] = E [log Y] = 1/3 (lub jakaś inna liczba, jeśli wolisz logarytmy przyjmowane do bardziej sensownej zasady niż 10, ale wciąż równe, ponieważ w dowolnym logu podstawowym 100 = 2 log 10). Jednak E [X]! = E [Y].
Steve Jessop,