Załóżmy, że mamy niezależnych zmiennych losowych , , ze skończonymi środkami i wariancji , , . Szukam granic bez dystrybucji prawdopodobieństwa, że każdy jest większy niż wszystkie inne , .
Innymi słowy, jeśli dla uproszczenia założymy, że rozkłady są ciągłe (takie, że ), szukam granic na:
Jeśli , możemy użyć nierówności Czebyszewa, aby uzyskać:
Chciałbym znaleźć jakieś proste (niekoniecznie mocno) Bounds do ogólnego , ale nie byłem w stanie znaleźć (estetycznie) miłe wyników dla ogólnego .
Należy pamiętać, że zmienne nie są uważane za id. Wszelkie sugestie lub odniesienia do powiązanych prac są mile widziane.
Aktualizacja: pamiętaj, że z założenia . Następnie możemy użyć powyższego ograniczenia, aby dojść do:
Oznacza to:
To z kolei implikuje:
Jestem teraz zastanawiasz się, czy ten związany można poprawić na coś, co nie zależy liniowo od . Na przykład, czy obowiązuje:
A jeśli nie, to co może być kontrprzykładem?
Odpowiedzi:
Możesz użyć nierówności Czebiszewa na wielu odmianach.
Przypadek dwóch zmiennych
W przypadku jednej sytuacji, vs. , do tej samej sytuacji, co komentarz Jochena z 4 listopada 2016 rX 2X1 X2)
1) Jeśli to P ( X 1 > X 2 ) ≤ ( σ 2 1 + σ 2 2 ) / ( μ 1 - μ 2 ) 2μ1< μ2) P.( X1> X2)) ≤ ( σ2)1+ σ2)2)) / ( μ1- μ2))2)
(i zastanawiam się również nad twoją pochodną)
Wyprowadzenie równania 1
Przypadek wielowymiarowy
Nierówność w równaniu (1) można zmienić na przypadek wielowymiarowy, stosując ją do wielu transformowanych zmiennych dla każdego (zauważ, że są one skorelowane).i < n( Xn- Xja) i < n
Rozwiązanie tego problemu (wielowymiarowe i skorelowane) zostało opisane przez I. Olkina i JW Pratta. „A Multivariate Tchebycheff Inequality” w Annals of Mathematical Statistics, tom 29 strony 226-234 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706720
Uwaga twierdzenie 2.3
w którym liczba zmiennych, , a .t = ∑ k - 2 i u = ∑ ρ i j / ( k i k j )p t = ∑ k- 2ja u = ∑ ρI j/ ( kjakjot)
Twierdzenie 3.6 zapewnia ściślejsze powiązanie, ale jest trudniejsze do obliczenia.
Edytować
Ostrzejsze granice można znaleźć, stosując nierówność Cantelliego na wielu odmianach . Ta nierówność jest typem, który użyłeś wcześniej i zapewnił ci granicę który jest ostrzejsze niż .( σ 2 1 + σ 2 2 ) / ( μ 1 - μ 2 ) 2( σ2)1+ σ2)2)) / ( σ2)1+ σ2)2)+ ( μ1- μ2))2)) ( σ2)1+ σ2)2)) / ( μ1- μ2))2)
Nie poświęciłem czasu na przestudiowanie całego artykułu, ale i tak możesz znaleźć rozwiązanie tutaj:
AW Marshall i I. Olkin „Jednostronna nierówność typu Czebyszewa” w Annals of Mathematical Statistics tom 31 str. 488-491 https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705913
(późniejsza uwaga: ta nierówność dotyczy równych korelacji i niewystarczającej pomocy. W każdym razie twój problem, aby znaleźć najostrzejszą granicę, jest równy, bardziej ogólnie, wielowymiarowej nierówności Cantellego. Byłbym zaskoczony, gdyby rozwiązanie nie istniało)
źródło
Znalazłem twierdzenie, które może ci pomóc i spróbuję je dostosować do twoich potrzeb. Załóżmy, że masz:
Następnie przez nierówność Jensena (ponieważ exp (.) Jest funkcją wypukłą), otrzymujemy:
Teraz w przypadku musisz podłączyć dowolną funkcję generującą moment swojej zmiennej losowej (ponieważ jest to tylko definicja mgf). Następnie, po zrobieniu tego (i potencjalnie upraszczając twój termin), bierzesz ten termin, bierzesz dziennik i dzielisz go przez t, aby uzyskać oświadczenie o terminie . Następnie możesz wybrać t z dowolną wartością (najlepiej, aby termin był mały, aby granica była ciasna). X i E ( m a x 1 ≤ i ≤ n X i )e x p ( t ⋅ Xja Xja E ( m a x1 ≤ i ≤ nXja)
Następnie masz oświadczenie o oczekiwanej wartości maksymalnej ponad n rvs. Aby uzyskać teraz stwierdzenie o prawdopodobieństwie, że maksimum tych wartości rv odbiega od tej oczekiwanej wartości, możesz po prostu użyć nierówności Markowa (zakładając, że twoje wartości rv jest nieujemne) lub innej, bardziej szczegółowej wartości rv, odnoszącej się do twojego konkretnego wartości.
źródło