Co to znaczy z algebrą

Często w trakcie (własnego) badania statystyk spotkałem się z terminologią „ -algebra generowana przez zmienną losową”. Nie rozumiem definicji z Wikipedii , ale co najważniejsze, nie rozumiem za tym intuicji. Dlaczego / kiedy potrzebujemy algebry generowane przez zmienne losowe? Jakie jest ich znaczenie? Znam następujące:σ $\sigma$$\sigma-$

• a -algebra na zbiorze to niepusty zbiór podzbiorów który zawiera , jest zamknięty pod dopełnieniem i pod policzalną sumą.Ω Ω $\sigma$$\Omega$$\Omega$$\Omega$
• wprowadzamy -algebras, aby budować przestrzenie prawdopodobieństwa na nieskończonych przestrzeniach próbek. W szczególności, jeśli jest niepoliczalnie nieskończony, wiemy, że mogą istnieć niezmierzone podzbiory (zestawy, dla których nie możemy zdefiniować prawdopodobieństwa). Dlatego nie możemy po prostu użyć zestawu mocy jako naszego zestawu zdarzeń . Potrzebujemy mniejszego zestawu, który jest wciąż wystarczająco duży, abyśmy mogli określić prawdopodobieństwo interesujących zdarzeń i porozmawiać o zbieżności sekwencji zmiennych losowych.Ω Ω P ( Ω ) $\sigma$$\Omega$$\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$$\mathcal{F}$

Krótko mówiąc, myślę, że mam dość intuicyjne zrozumienie . Chciałbym mieć podobne zrozumienie dla algebry generowanych przez zmienne losowe: definicja, dlaczego ich potrzebujemy, intuicja, przykład ...σ $\sigma-$$\sigma-$

Rozważmy zmienną losową $X$ . Wiemy, że $X$ jest niczym innym jak mierzalną funkcją od $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ do $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ , gdzie $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ są zestawami Borela linii rzeczywistej. Z definicji mierzalności wiemy, że mamy

Ale w praktyce obrazami zbiorów Borela mogą nie być wszystkie $\mathcal{A}$ ale zamiast tego mogą one stanowić znacznie grubszy jego podzbiór. Aby to zobaczyć, zdefiniujmy

Korzystając z właściwości preimage'ów, nietrudno jest wykazać, że $\mathcal{\Sigma}$ jest sigma-algebrą. Z powyższego wynika również natychmiast, że $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ , stąd $\mathcal{\Sigma}$ jest sub-sigma-algebrą. Ponadto, według definicji łatwo zauważyć, że mapowanie $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ jest mierzalne. $\mathcal{\Sigma}$ jest w rzeczywistości najmniejszą sigma-algebrą, która sprawia, że $X$ jest zmienną losową, ponieważ wszystkie inne sigma-algebry zawierałyby co najmniej $\mathcal{\Sigma}$. Z tego powodu, że mamy do czynienia z preimages zmiennej losowej $X$ nazywamy $\mathcal{\Sigma}$ sigma-algebry indukowane przez zmiennej losowej $X$ .

Oto skrajny przykład: rozważ stałą zmienną losową $X$ , czyli $X(\omega) \equiv \alpha$ . Następnie $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ równy albo $\Omega$ lub $\varnothing$ w zależności od tego, czy $\alpha \in B$ . Wytworzone w ten sposób przestrzeń mierzalna jest trywialna i jako takie jest zdecydowanie włączone $\mathcal{A}$ .

Mam nadzieję że to pomoże.