Miałem więc test prawdopodobieństwa i tak naprawdę nie mogłem odpowiedzieć na to pytanie. Poprosił tylko o coś takiego:
„Biorąc pod uwagę, że jest zmienną losową, 0 , użyj poprawnej nierówności, aby udowodnić, co jest wyższe lub równe, E (X ^ 2) ^ 3 lub E (X ^ 3) ^ 2 .
Jedyną rzeczą, o której mogłem pomyśleć, była nierówność Jensena, ale tak naprawdę nie wiem, jak ją tutaj zastosować.
probability
self-study
probability-inequalities
Trójkolorowy
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Rzeczywiście można to udowodnić nierównością Jensena.
Wskazówka : Zauważ, że dla funkcja jest wypukła w (tam, gdzie używasz założenia ). Następnie nierówność Jensena daje a dla jest to w inny sposób.α > 1 xα [ 0 , - ∞ ) X≥ 0
Teraz zamień zmienne na coś porównywalnego i znajdź odpowiedni .α
źródło
Nierówność Lapunowa (patrz: Casella i Berger, Wnioskowanie statystyczne 4.7.6):
Dla :1 < r < s < ∞
Dowód :
Według nierówności Jensena dla wypukłych :ϕ ( x ) ϕ ( E X) ≤ E [ ϕ ( x ) ]
Zastanów się , a następnie gdzieϕ ( Y) =Yt ( E [ Y])t≤ E [Yt] Y= | X|r
Zastąp :t =sr ( E [ | X|r])sr≤ E [ | X|rsr] ⟹E [ | X|r]1r≤ E [ | X|s]1s
Ogólnie dla oznacza to:X> 0
źródło
Załóżmy, że X ma równomierny rozkład na [0,1], a następnie E (X ) = a więc E (X ) = i E ( X ) = więc E (X ) = . Więc w tym przypadku E (X ) > E (X ) . Czy potrafisz to uogólnić lub znaleźć kontrprzykład?2 13 2 3 127 3 14 3 2 116 3 2 2 3
źródło