Próbuję udowodnić stwierdzenie:
Jeśli i Y ∼ N ( 0 , σ 2 2 ) są niezależnymi zmiennymi losowymi,
następnie jest również normalną zmienną losową.
W przypadku specjalnym (powiedzmy) mamy dobrze znany wynik, że X YilekroćXiYsą niezależnymizmiennymiN(0,σ2). W rzeczywistości bardziej ogólnie wiadomo, żeXY są niezależnymiN(0,σ2zmienne.
Dowód ostatniego wyniku następuje za pomocą transformacji , gdzie x = r cos θ , y = r sin θ i U = R. Rzeczywiście, tutajU=XY iV=X2-Y2 . Próbowałem naśladować ten dowód dla danego problemu, ale wydaje się, że robi się bałagan.
Jeśli nie popełniłem żadnego błędu, to dla kończę z gęstością połączenia ( U , V ) jako
Mam powyżej mnożnik ponieważ transformacja nie jest jeden do jednego.
Tak więc gęstość dałaby ∫ R f U , V ( u , v ) , co nie jest łatwe do oceny.
Teraz chciałbym wiedzieć, czy istnieje dowód, w którym mogę pracować tylko z i nie muszę brać pod uwagę V, aby pokazać, że U jest normalne. Znalezienie CDF z U nie wygląda obecnie tak obiecująco. Chciałbym również zrobić to samo dla przypadku σ 1 = σ 2 = σ .
To znaczy, jeśli i Y są niezależnymi zmiennymi N ( 0 , σ 2 ) , to chcę pokazać, że Z = 2 X Ybez zmiany zmiennych. Jeśli w jakiś sposób mogę argumentować, żeZd=X, to jestem skończony. Więc dwa pytania tutaj, przypadek ogólny, a następnie przypadek szczególny.
Powiązane posty na Math.SE:
Biorąc pod uwagę, że są iid N ( 0 , 1 ) , pokaż, że X Y mają oznaczenieN(0,1.
Edytować.
Problem ten jest faktycznie spowodowany przez L. Sheppa, o czym dowiedziałem się w ćwiczeniach Wstępu do teorii prawdopodobieństwa i jego zastosowań (tom II) Fellera, wraz z możliwą wskazówką:
Z pewnością i mam gęstość1 pod ręką.
Zobaczmy, co mógłbym teraz zrobić. Oprócz tego mile widziana jest również pomoc z powyższą całką.
źródło
Odpowiedzi:
Uwaga na temat funkcji normalnych zmiennych losowych normalnych
Normalne funkcje normalnych zmiennych losowych
Wynik Shepp
źródło
według tego
Przekształcanie dwóch normalnych zmiennych losowych
podobne dla innych.
abyśmy mogli pokazać:
więc
pokazać niezależność
źródło