Jeśli

11

Próbuję udowodnić stwierdzenie:

Jeśli i Y N ( 0 , σ 2 2 ) są niezależnymi zmiennymi losowymi,XN(0,σ12)YN(0,σ22)

następnie jest również normalną zmienną losową.XYX2+Y2

W przypadku specjalnym (powiedzmy) mamy dobrze znany wynik, że X Yσ1=σ2=σilekroćXiYsą niezależnymizmiennymiN(0,σ2). W rzeczywistości bardziej ogólnie wiadomo, żeXYXYX2+Y2N(0,σ24)XYN(0,σ2) są niezależnymiN(0,σ2XYX2+Y2,X2Y22X2+Y2zmienne.N(0,σ24)

Dowód ostatniego wyniku następuje za pomocą transformacji , gdzie x = r cos θ , y = r sin θ i U = R(X,Y)(R,Θ)(U,V)x=rcosθ,y=rsinθ. Rzeczywiście, tutajU=XYu=r2sin(2θ),v=r2cos(2θ) iV=X2-Y2U=XYX2+Y2 . Próbowałem naśladować ten dowód dla danego problemu, ale wydaje się, że robi się bałagan.V=X2Y22X2+Y2

Jeśli nie popełniłem żadnego błędu, to dla kończę z gęstością połączenia ( U , V ) jako(u,v)R2(U,V)

fU,V(u,v)=2σ1σ2πexp[u2+v2(u2+v2+vσ12+u2+v2vσ22)]

Mam powyżej mnożnik ponieważ transformacja nie jest jeden do jednego.2

Tak więc gęstość dałaby R f U , V ( u , v )U , co nie jest łatwe do oceny.RfU,V(u,v)dv

Teraz chciałbym wiedzieć, czy istnieje dowód, w którym mogę pracować tylko z i nie muszę brać pod uwagę V, aby pokazać, że U jest normalne. Znalezienie CDF z U nie wygląda obecnie tak obiecująco. Chciałbym również zrobić to samo dla przypadku σ 1 = σ 2 = σ .UVUUσ1=σ2=σ

To znaczy, jeśli i Y są niezależnymi zmiennymi N ( 0 , σ 2 ) , to chcę pokazać, że Z = 2 X YXYN(0,σ2)bez zmiany zmiennych. Jeśli w jakiś sposób mogę argumentować, żeZd=X, to jestem skończony. Więc dwa pytania tutaj, przypadek ogólny, a następnie przypadek szczególny.Z=2XYX2+Y2N(0,σ2)Z=dX

Powiązane posty na Math.SE:

gdyX,YN(0,1)niezależnieX2Y2/X2+Y2N(0,1)X,YN(0,1).

Biorąc pod uwagę, że są iid N ( 0 , 1 ) , pokaż, że X YX,YN(0,1) mają oznaczenieN(0,1XYX2+Y2,X2Y22X2+Y2N(0,14).

Edytować.

Problem ten jest faktycznie spowodowany przez L. Sheppa, o czym dowiedziałem się w ćwiczeniach Wstępu do teorii prawdopodobieństwa i jego zastosowań (tom II) Fellera, wraz z możliwą wskazówką:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Z pewnością i mam gęstość1U=XYX2+Y2=11X2+1Y2 pod ręką.1X2

Zobaczmy, co mógłbym teraz zrobić. Oprócz tego mile widziana jest również pomoc z powyższą całką.

UpartyAtom
źródło
1
(U,V)
U
1
1X21Y2
U=XYX2+Y2=11X2+1Y2=11Z2=Z
@MartijnWeterings Najwyraźniej jest to oryginalny dowód przekazany przez Shepp.
StubbornAtom
Sam bym tego nie wymyślił, gdybyś nie wspomniał o komentarzu Sheppa. Ale wpadłem na pomysł, że nie dostałeś tego dowodu. A przynajmniej nie było jasne, czy tak jest.
Sextus Empiricus

Odpowiedzi:

6

U=XYX2+Y2

VU

σ12=1σ22=σ2X2χ12Y2σ2χ12(X2,Y2)fX2,Y2

(X2,Y2)(W,Z)W=X2Y2X2+Y2Z=X2+Y2Y2(W,Z)fW,ZfW,ZzfWW

W=U2122(1+1σ)2(1+1σ)2Wχ12U0(1+1σ)UN(0,1)UN(0,(σσ+1)2)

UpartyAtom
źródło
0

według tego

Przekształcanie dwóch normalnych zmiennych losowych

X=rcos(θ)Y=rsin(θ)X,Ynormal(0,1)θUniform(0,2π)r2chi(2)
XY θr

sin(θ)cos(θ)sin(2θ)2sin(θ)cos(θ)cos(2θ)cos(2θ)ff(z)=1π(1z2)I[1,1](z)z=sin(θ)f(z)=|ddzsin1(z)|fθ(sin1(z))+|ddz(πsin1(z))|fθ(πsin1(z))=1(1z2)12π+1(1z2)12π=1π(1z2)

podobne dla innych.

2XY(X2+Y2)=2r2cos(θ)sin(θ)r=2rcos(θ)sin(θ)=rsin(2θ)rsin(θ)N(0,1)

abyśmy mogli pokazać:

X=σrcos(θ)Y=σrsin(θ)

więc

2XY(X2+Y2)=2r2σσcos(θ)sin(θ)rσ=2σrcos(θ)sin(θ)=σrsin(2θ)σrsin(θ)σN(0,1)=N(0,σ2)

pokazać niezależność

2XY(X2+Y2)=σrsin(θ)

X2Y22(X2+Y2)=r2σ2(cos2(θ)sin2(θ))2rσ=12rσ(cos2(θ)sin2(θ))12rσcos(2θ)12rσcos(θ)

Masoud
źródło
σXσY
sqrt(X2+Y2)