(Uwaga: zmieniłem twój ξ do x.)
Dla zmiennej losowej X z gęstością p, jeśli masz ograniczenia
∫solja( x )p ( x )rex =doja,
dla
i = 1 , … , n, maksymalna gęstość entropii wynosi
p0( x ) = A exp(∑i=1naiGi(x)),
gdzie
aisą określone na podstawie
cii
ZA jest stałą normalizacyjną.
W tym kontekście przybliżenie Gaussa („bliskie gaussowskości”) oznacza dwie rzeczy:
1) Zgadzasz się na wprowadzenie dwóch nowych ograniczeń: średniej X jest 0 a wariancja jest 1 (mówić);
2) Odpowiedni zan + 2 (patrz poniżej) jest znacznie większy od drugiego zaja„s.
Te dodatkowe ograniczenia są reprezentowane jako
soln + 1( x ) = x,don + 1= 0,
soln + 2( x ) =x2),don + 2= 1,
wydajność
p0( x ) = A exp(zan + 2x2)+zan + 1x +∑i = 1nzajasolja( x ) ),
które można przepisać jako (wystarczy „dodać zero” do wykładnika)
p0( x ) = A exp(x2)2)-x2)2)+zan + 2x2)+zan + 1x +∑i = 1nzajasolja( x )),
prowadząc do tego, czego chcesz:
p0( x )=ZA′ϕ ( x ) exp(zan + 1x + (zan + 2+12))x2)+∑i = 1nzajasolja( x ));
gotowy do rozszerzenia Taylora (przy użyciu drugiego warunku przybliżenia Gaussa).
Robiąc przybliżenie jak fizyk (co oznacza, że nie dbamy o kolejność terminu błędu), używając exp( t ) ≈ 1 + t, mamy przybliżoną gęstość
p0( x ) ≈ZA′ϕ ( x ) ( 1 +zan + 1x + (zan + 2+12))x2)+∑i = 1nzajasolja( x ) ).
Aby zakończyć, musimy ustalić
ZA′ i wartości
zaja„s. Dokonuje się tego narzucając warunki
∫p0( x)rex =1,∫xp0( x)rex = 0,∫x2)p0( x)rex = 1
∫solja( x )p0( x)rex =doja,i = 1 , ... ,n,
uzyskać układ równań, którego rozwiązanie daje
ZA′ i
zaja„s.
Bez nakładania dodatkowych warunków na soljaNie wierzę, że istnieje proste rozwiązanie w formie zamkniętej.
PS Mohammad wyjaśnił podczas czatu, że z dodatkowymi warunkami ortogonalności dla soljamożemy rozwiązać system.