Natknąłem się na tę dystrybucję w grze komputerowej i chciałem dowiedzieć się więcej o jej zachowaniu. To zależy od decyzji, czy określone zdarzenie powinno nastąpić po określonej liczbie akcji gracza. Szczegóły poza tym nie są istotne. Wydaje się, że ma zastosowanie w innych sytuacjach, i uważam to za interesujące, ponieważ jest łatwe do obliczenia i tworzy długi ogon.
Na każdym kroku gra generuje jednolitą liczbę losową . Jeśli , zdarzenie jest wyzwalane. Po wystąpieniu zdarzenia gra resetuje i ponownie przechodzi przez sekwencję. Interesuje mnie tylko jedno wystąpienie zdarzenia dotyczącego tego problemu, ponieważ reprezentuje ono dystrybucję używaną przez grę. (Na wszelkie pytania dotyczące wielu wystąpień można odpowiedzieć za pomocą jednego modelu wystąpienia).X < p ( n ) n = 0
Główną „nienormalnością” jest tutaj to, że parametr prawdopodobieństwa w tym rozkładzie zwiększa się z czasem lub, innymi słowy, próg rośnie z czasem. W tym przykładzie zmienia się liniowo, ale przypuszczam, że mogą obowiązywać inne reguły. Po krokach lub czynnościach użytkownika
dla niektórych stałych . W pewnym momencie otrzymujemy p (n _ {\ max}) \ geq 1 . Zdarzenie jest po prostu gwarantowane na tym etapie.
Byłem w stanie to ustalić
Oto fabuła naszego przyjaciela Monte Carlo, dla zabawy, z . Mediana osiąga wartość 21, a średnia wynosi 22.
Jest to zasadniczo równoznaczne z równaniem różnicy pierwszego rzędu z cyfrowego przetwarzania sygnału, które jest moim tłem, więc odkryłem, że jest to całkiem nowe. Intryguje mnie również to, że może się różnić zgodnie z dowolną dowolną formułą.
Moje pytania:
- Jak nazywa się ta dystrybucja, jeśli ją posiada?
- Czy istnieje sposób uzyskania wyrażenia dla bez odniesienia do ?F ( n )
- Czy istnieją inne przykłady takich dyskretnych rozkładów rekurencyjnych?
Edycje Wyjaśniono proces dotyczący generowania liczb losowych.
Odpowiedzi:
W pewnym sensie to, co zrobiłeś, to scharakteryzowanie wszystkich nieujemnych rozkładów o wartościach całkowitych.
Odłóżmy na chwilę opis losowego procesu i skupmy się na rekurencjach w pytaniu.
Jeśli , to z pewnością . Jeśli przepiszemy drugą rekurencję pod względem funkcji przeżycia (gdzie ma rozkład ), otrzymamy coś bardzo sugestywnego i łatwego w obsłudze. Oczywiście a więc Tak więc, o ile nasza sekwencja przyjmuje wartości w i nie zbiega się zbyt szybko do zera, to otrzymamy prawidłową funkcję przeżycia (tj. Monotonicznie zmniejszającą się do zera jako ).F n = p n + ( 1 - p n ) F n - 1 S n = 1 - F n = P ( T > n ) T F S n = 1 - F n = ( 1 - p n ) S nfn=pn(1−Fn−1) Fn=pn+(1−pn)Fn−1 Sn=1−Fn=P(T>n) T F S n = n ∏ k = 0 ( 1 - p k )
Dokładniej,
Zatem rekurencja zapisana w pytaniu jest w pełni ogólna : każdy nieujemny rozkład wartości całkowitych ma odpowiednią sekwencję przyjmującą wartości wynoszącą .[ 0 , 1 ](pn) [0,1]
Jednak odwrotność nie jest prawdą; to znaczy istnieją sekwencje o wartościach w , które nie odpowiadają żadnemu prawidłowemu rozkładowi. (W szczególności rozważ dla wszystkich a dla )[ 0 , 1 ] 0 < p n < 1 n ≤ N p n = 0 n > N(pn) [0,1] 0<pn<1 n≤N pn=0 n>N
Ale czekaj, jest więcej!
Wskazaliśmy na związek z analizą przeżycia i warto to zbadać nieco głębiej. W klasycznej analizie przeżycia z absolutnie ciągłym rozkładem i odpowiednią gęstością , funkcja hazardu jest zdefiniowana jako f h ( t ) = f ( t )F f
Łączny zagrożenia następnie i prostą analizę pochodnych pokazuje, że Na tej podstawie możemy natychmiast podać charakterystykę dopuszczalnej funkcji hazardu: jest to dowolna mierzalna funkcja taka, że dla wszystkich i jako .Λ(t)=∫t0h(s)ds
Otrzymujemy podobną rekurencję dla funkcji przeżycia do powyższej, zauważając, że dlat>t0
Zauważ w szczególności , że moglibyśmy wybrać aby była stała kawałek po kawałku, każdy kawałek ma szerokość 1 i taki, że całka zbiega się w nieskończoność. Dałoby to funkcję przeżycia która pasuje do dowolnej pożądanej nieujemnej liczby całkowitej o wartości jednej przy każdej liczbie całkowitej dodatniej.h(t) S(t)
Ponowne połączenie z dyskretną obudową
Aby dopasować pożądaną dyskretną na każdej liczbie całkowitej, powinniśmy wybrać funkcję hazardu, która jest częściowo stała, tak że on . To drugi dowód warunku koniecznego dla sekwencji aby zdefiniować prawidłowy rozkład.S(n)
Zauważ, że dla małych , który zapewnia heurystyczne połączenie między funkcją hazardu rozkładu ciągłego a rozkładem dyskretnym z dopasowaniem funkcji przeżycia na liczby całkowite.pn −log(1−pn)≈pn=fn/Sn−1
Postscriptum : Jako ostatnia uwaga, przykład w pytaniu nie spełnia niezbędnych warunków bez odpowiedniej modyfikacji przy i ustawieniu dla wszystkich .pn=kn fn n=⌈k−1⌉ fn=0 n>⌈k−1⌉
źródło
W przypadku, gdy , mamy pewne znane właściwości. Możemy rozwiązać relację powtarzalnościp(n)=p<1
ma rozwiązanie
Bardziej ogólny przypadek prawdopodobnie nie może być obliczony w formie zamkniętej, a zatem prawdopodobnie nie ma znanego rozkładu.p(n)
Inne przypadki:
źródło