Jak obliczyć oczekiwanie na ?

Jeśli jest wykładniczo rozłożone z parametrem i są wzajemnie niezależne, to czego oczekujemy $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

pod względem i i ewentualnie innych stałych? $n$ $\lambda$

Uwaga: to pytanie ma matematyczną odpowiedź na /math//q/12068/4051 . Czytelnicy też na to spojrzą.

expected-value exponential gamma-distribution Izaak
źródło

Dwie kopie tego pytania odnoszą się do siebie nawzajem i odpowiednio, strona statystyk (tutaj) ma odpowiedź statystyczną, a strona matematyki ma odpowiedź matematyczną. Wydaje się, że to dobry podział: niech się stanie!

whuber

Odpowiedzi:

Jeśli , to (pod niezależnością), , więc jest rozproszone w gamma (patrz wikipedia ). Potrzebujemy tylko . Ponieważ , wiemy, że . Dlatego ( oczekiwanie i wariancja rozkładu gamma można znaleźć na Wikipedii ). $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

Wolfgang
źródło

Dzięki. Bardzo schludny sposób odpowiedzi na pytanie (prowadzący do tej samej odpowiedzi) został również podany na math.stackexchange (link powyżej w pytaniu) kilka minut temu.

Wolfgang

Odpowiedź matematyczna oblicza całki przy użyciu liniowości oczekiwań. Pod pewnymi względami jest to prostsze. Ale podoba mi się twoje rozwiązanie, ponieważ wykorzystuje wiedzę statystyczną : ponieważ znasz sumę niezależnych zmiennych wykładniczych ma rozkład gamma, gotowe.

whuber

Bardzo mi się podobało i w żadnym wypadku nie jestem statystykiem ani matematykiem.

Kortuk

bardzo elegancka odpowiedź.

Cyrus S

@Dilip Matematyk uważa to pytanie za prośbę o całkę i przechodzi bezpośrednio do jej zintegrowania. Statystyk wyraża to ponownie w kategoriach znanych wielkości statystycznych, takich jak wariancja, i znanych zależności statystycznych, takich jak wykładnicza to Gamma, a rodzina Gamma jest zamknięta w trakcie splotu. Odpowiedzi są takie same, ale podejścia są zupełnie inne. Następnie pojawia się pytanie, co tak naprawdę oznacza „robienie integracji”. Na przykład ta skomplikowana całka jest wykonywana czysto algebraicznie.

whuber

Powyższa odpowiedź jest bardzo ładna i całkowicie odpowiada na pytanie, ale zamiast tego przedstawię ogólną formułę oczekiwanego kwadratu sumy i zastosuję ją do konkretnego przykładu wymienionego tutaj.

Dla dowolnego zestawu stałych jest faktem $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

dotyczy to właściwości Distributionive i staje się jasne, gdy weźmiesz pod uwagę to, co robisz, obliczając ręcznie . $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

Dlatego dla próbki zmiennych losowych , niezależnie od rozkładów, $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

pod warunkiem, że te oczekiwania istnieją.

W przykładzie z problemu są zmiennymi losowymi iid , co mówi nam, że i dla każdego . Niezależnie, dla mamy $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

W sumie jest tych terminów. Kiedy , mamy $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

w sumie jest tych terminów. Dlatego przy użyciu powyższego wzoru $n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

jest twoja odpowiedź.

Makro
źródło

Problem ten jest tylko szczególnym przypadkiem znacznie bardziej ogólnego problemu „momentów momentów”, które są zwykle definiowane w kategoriach notacji sumy mocy. W szczególności w notacji sumy mocy:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Następnie, niezależnie od dystrybucji , oryginalny plakat szuka (pod warunkiem, że istnieją chwile). Ponieważ operator oczekiwań to dopiero pierwszy nieprzetworzony moment, rozwiązanie podano w oprogramowaniu mathStatica przez: $E[s_1^2]$

[„___ToRaw” oznacza, że chcemy, aby rozwiązanie zostało przedstawione w kategoriach nieprzetworzonych momentów populacji (zamiast powiedzieć momenty centralne lub kumulanty). ]

Na koniec, jeśli ~ wykładniczy ( ) z pdf : $X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

następnie możemy zastąpić momenty w ogólnym rozwiązaniu rzeczywistymi wartościami wykładniczej zmiennej losowej, takimi jak: $\mu_i$ sol

Wszystko gotowe.

PS Powodem, dla którego inne zamieszczone tutaj rozwiązania dają odpowiedź z w mianowniku, a nie w liczniku, jest oczywiście to, że używają innej parametryzacji rozkładu wykładniczego. Ponieważ OP nie określił, której wersji używa, postanowiłem użyć standardowej definicji podręcznika teorii dystrybucji Johnson Kotz i in.… Tylko po to, żeby to zrównoważyć :) $\lambda^2$

wilki
źródło