Funkcja generowania momentu wewnętrznego iloczynu dwóch losowych wektorów gaussowskich

9

Czy ktoś może zasugerować, jak mogę obliczyć funkcję generującą moment wewnętrznego iloczynu dwóch losowych wektorów Gaussa, z których każdy jest rozłożony jako N.(0,σ2)), niezależne od siebie? Czy jest dostępny jakiś standardowy wynik? Każdy wskaźnik jest bardzo ceniony.

abhibhat
źródło

Odpowiedzi:

19

Najpierw zajmijmy się tą sprawą Σ=σja. Na koniec jest (łatwe) uogólnienie na arbitralneΣ.

Zacznij od obserwowania iloczynu wewnętrznego jest sumą zmiennych iid, z których każda jest iloczynem dwóch niezależnych normalnych(0,σ) zmienia się, redukując w ten sposób pytanie do znalezienia mgf tego ostatniego, ponieważ mgf sumy jest iloczynem mgfs.

MGF można znaleźć przez integrację, ale istnieje łatwiejszy sposób. KiedyX i Y są standardowe normalne,

XY=((X+Y)/2)2((XY)/2)2

jest różnicą dwóch niezależnych skalowanych wariantów chi-kwadrat. (Współczynnik skali wynosi1/2 ponieważ wariancje (X±Y)/2 równy 1/2.) Ponieważ mgf zmiennej chi-kwadrat wynosi 1/12ω, mgf z ((X+Y)/2)2 jest 1/1ω i mgf z -((X-Y)/2))2) jest 1/1+ω. Mnożąc, stwierdzamy, że pożądany mgf jest równy1/1-ω2).

(W celu późniejszego wykorzystania zwróć uwagę, że kiedy X i Y są przeskalowane przez σ, ich produkt skaluje się według σ2)skąd ω powinien być skalowany według σ2), też.)

Powinno to wyglądać znajomo: do pewnych stałych czynników i znaku, wygląda jak gęstość prawdopodobieństwa dla rozkładu t Studenta0stopnie swobody. (Rzeczywiście, gdybyśmy pracowali z charakterystycznymi funkcjami zamiast mgfs, otrzymalibyśmy1/1+ω2), który jest jeszcze bliżej pliku PDF ucznia.) Nieważne, że nie ma czegoś takiego jak Student t 0 dfs - liczy się tylko to, że mgf są analityczne w sąsiedztwie 0 i to wyraźnie jest (według twierdzenia dwumianowego).

Wynika z tego natychmiast, że rozkład produktu wewnętrznego tych iidów Gaussa n-wektory ma mgf równe n-fold produkt tego mgf,

(1-ω2)σ4)-n/2),n=1,2),.

Przez patrząc charakterystyczną funkcją t rozkładów Studenta wnosimy (z odrobiną algebry lub integracji, aby znaleźć stałą normalizujące), że sama PDF jest dana przez

fan,σ(x)=2)1-n2)|x|n-12)K.n-12)(|x|σ2))πσ4Γ(n2))

(K. jest funkcją Bessela).

Na przykład tutaj jest wykres tego pliku PDF nałożonego na histogram losowej próbki 105 takie produkty wewnętrzne gdzie σ=1/2) i n=3):

Histogram

Trudniej jest potwierdzić dokładność mgf z symulacji, ale zauważ (z twierdzenia dwumianowego), że

(1+t2)σ4)-3)/2)=1-3)σ4t2)2)+15σ8t48-35σ12t616+315σ16t8128+,

z których możemy odczytać momenty (podzielone przez silnie). Ze względu na symetrię około0, ważne są tylko parzyste momenty. Dlaσ=1/2) otrzymujemy następujące wartości, które należy porównać z nieprzetworzonymi momentami tej symulacji:

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

Jak można się spodziewać, wysokie momenty symulacji zaczną odchodzić od momentów podanych przez mgf; ale przynajmniej do dziesiątej chwili panuje doskonała zgoda.


Nawiasem mówiąc, kiedy n=2) rozkład jest dwuwykładniczy.


Aby poradzić sobie z ogólnym przypadkiem, zacznij od zauważenia, że ​​iloczyn wewnętrzny jest obiektem niezależnym od współrzędnych. Możemy zatem przyjąć główne kierunki (wektory własne)Σjako współrzędne. W tych współrzędnych iloczyn wewnętrzny jest sumą niezależnych iloczynów niezależnych zmiennych normalnych, przy czym każdy składnik jest rozłożony z wariancją równą powiązanej wartości własnej. A zatem niech będą niezerowe wartości własneσ12),σ2)2),,σre2) (z 0ren), mgf musi być równe

(ja=1re(1-ω2)σja4))-1/2).

Aby potwierdzić, że nie popełniłem błędu w tym rozumowaniu, opracowałem przykład gdzie Σ jest matrycą

(112)-1812)1-14-18-1412))

i obliczył, że jego wartości własne są

(σ12),σ2)2),σ3)2))=(116(17+65),116(17-65),3)8)(1,56639,0,558609,0,375).

Możliwe było obliczenie pliku PDF poprzez liczbową ocenę transformaty Fouriera funkcji charakterystycznej (wyprowadzonej ze wzoru mgf podanego tutaj): wykres tego pliku PDF pokazano na poniższym rysunku jako czerwoną linię. W tym samym czasie wygenerowałem106 iid zmienia się Xja od normalności(0,Σ) dystrybucja i jeszcze jedno 106 iid zmienia się Yja w ten sam sposób i obliczyłem 106 produkty kropkowe XjaYja. Wykres pokazuje histogram tych produktów punktowych (pomijając niektóre z najbardziej ekstremalnych wartości - zakres pochodzi z-12 do 15):

Histogram i PDF

Tak jak poprzednio umowa jest doskonała. Co więcej, chwile dobrze pasują do ósmej, a nawet do dziesiątej:

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

Uzupełnienie

(Dodano 9 sierpnia 2013 r.)

fan,σjest przykładem rozkładu wariancji-gamma , który pierwotnie zdefiniowano jako „normalna średnia wariancja-mieszanina, gdzie gęstość mieszania jest rozkładem gamma”. Ma standardową lokalizację (0), parametr asymetrii wynoszący 0 (jest symetryczny), parametr skali σ2)i parametr kształtu n/2) (zgodnie z parametryzacją Wikipedii).

Whuber
źródło
1
Cześć Whuber, wielkie dzięki za szczegółowe wyjaśnienia. Mam jednak jedną wątpliwość. KiedyΣjest ogólnie rzecz biorąc, terminy w rozszerzaniu sumy produktu wewnętrznego nie są już stosowane; stąd mgf sumy nie jest już produktem mgfs. Jak zatem uogólnić powyższą analizę na bardziej ogólną Sigmę?
abhibhat
Dodałem nową sekcję, aby podać niektóre (łatwe) szczegóły tego uogólnienia, aby wyjaśnić, że nie dotyczy to niczego nowego. Możesz także użyć podstawowych właściwości mgfs, aby zapisać mgf w przypadku, gdy dane mają również niezerowe środki, tym samym rozwiązując problem w pełnej ogólności.
whuber