Oczekiwana wartość i wariancja log (a)

20

Mam losową zmienną gdzie a jest rozkładem normalnym . Co mogę powiedzieć o i ? Przydatne byłoby również przybliżenie.N ( μ , σ 2 ) E ( X ) V a r ( X )X(a)=log(a)N(μ,σ2)E(X)Var(X)

rocksportrocker
źródło
4
Myślę, że pytanie dotyczyło „odwrotności” log-normal, tj. Gdzie normalna rv A prowadzi do log-normal X = exp (A), pytający pytał o rozkład X = log (A), który jest niezdefiniowany (z powodu czasami wymaganego dziennika liczby ujemnej). Mogą wystąpić pewne wyniki dla obciętej normalnej, ale prawdopodobnie będą bałaganu.
Martin O'Leary
2
rocksportrocker, jak zauważa @Martin O'Leary, matematycznie nie ma takiej zmiennej , ponieważ jest niezdefiniowany dla wartości ujemnych. Co najmniej musisz obciąć o pewnej wartości nieujemnej. Czy możesz nam powiedzieć dlaczego uważasz może być normalne? log ( a ) a aXlog(a)aa
whuber

Odpowiedzi:

23

Jeśli weźmiemy pod uwagę „przybliżenie” w dość ogólnym sensie, możemy gdzieś dojść.

Nie musimy zakładać, że mamy rzeczywisty rozkład normalny, ale coś, co jest w przybliżeniu normalne, z wyjątkiem tego, że gęstość nie może być niezerowa w sąsiedztwie 0.

Więc powiedzmy, że jest „w przybliżeniu normalny” (i skupiony przy średniej *) w tym sensie, że możemy handwave stąd obawy o zbliża 0 (i jego późniejszego wpływu na momentów dziennika ( ) , ponieważ nie robi „t” zejdź w pobliżu 0 ”), ale z tymi samymi momentami niskiego rzędu, jak określony rozkład normalny, wówczas moglibyśmy użyć szeregu Taylora do przybliżenia momentów transformowanej zmiennej losowej .aalog(a)a

W przypadku niektórych przekształceń wymaga to rozszerzenia g ( μ X + X - μ X ) jako szeregu Taylora (pomyśl g ( x + h ), gdzie μ X przyjmuje rolę „ x ”, a X - μ X przyjmuje rola „ h ”), a następnie przyjmowanie oczekiwań, a następnie obliczanie wariancji lub oczekiwanie kwadratu rozszerzenia (z którego można uzyskać wariancję).g(X)g(μX+XμX)g(x+h)μXxXμXh

Wynikowe przybliżone oczekiwanie i wariancja to:

E[g(X)]g(μX)+g(μX)2σX2

Var[g(X)](g(μX))2σX2

i tak (jeśli nie popełniłem żadnych błędów), gdy :g()=log()

E[log(a)]log(μa)σa22μa2

Var[log(a)]σa2/μa2

* Aby było to dobre przybliżenie, ogólnie chcesz, aby standardowe odchylenie było dość małe w porównaniu ze średnią (niski współczynnik zmienności).a

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło
2
Ponieważ szereg Taylora dla logu ma stosunkowo mały promień zbieżności, zaleca się ostrożność przy stosowaniu tych przybliżeń.
whuber
@ Whuber dla rozszerzenia wokół średniej, myślę, że byłoby to zgodne z radą, że „odchylenie standardowe powinno być dość małe w porównaniu ze średnią”, na której kończy się moja odpowiedź - jeśli brakuje mi jakiegoś dalszego problemu, że rada ta nie obejmuje Powinienem naprawić swoją odpowiedź. a
Glen_b
3
Przybliżenie średniej działa całkiem dobrze dla a dla wariancji działa całkiem dobrze dla μ / σ > 2,5 lub więcej. μ/σ>1.5μ/σ>2.5
whuber
W każdym razie z pewnością warto wyjaśnić, że pośrednio polegamy na zbieżności (ponieważ ln ( μ + y - μ ) = ln [ μ { 1 + ( y - μ ) / μ } ] = ln ( μ ) + ln [ 1 + ( y - μ ) / μ ]ln(1+x)ln(μ+yμ)=ln[μ{1+(yμ)/μ}]=ln(μ)+ln[1+(yμ)/μ]). Dziękujemy również za sugerowane wyraźne wartości; jeśli coś, to jestem nieco przesadny, kiedy go używam. Dwa cenne komentarze.
Glen_b