Notacja w indeksie dolnym w oczekiwaniach

Jakie jest dokładne znaczenie notacji indeksu dolnego w oczekiwaniach warunkowych w ramach teorii miar? Te indeksy dolne nie pojawiają się w definicji warunkowego oczekiwania, ale możemy zobaczyć na przykład na tej stronie wikipedii . (Pamiętaj, że nie zawsze tak było, ta sama strona kilka miesięcy temu). $\mathbb{E}_X[f(X)]$

Jakie powinno być na przykład znaczenie z i ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation Emile
źródło

Bez wątpienia ktoś wprowadzi formalne definicje, nieformalnie wszystkie oczekiwania są oczekiwaniami względem rozkładu (/ oczekiwań w odniesieniu do) niektórych (ewentualnie wielowymiarowych) zmiennych losowych, bez względu na to, czy zostało to wyraźnie określone, czy też dorozumiane. W wielu przypadkach jest to oczywiste (

E (X)

$\text{E}(X)$ oznacza

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$ zamiast

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$ ). W innych przypadkach konieczne jest rozróżnienie; rozważmy prawo całkowitej wariancji na przykład:

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$ .

Glen_b,

@Glen_b Czy naprawdę konieczne jest określenie w prawie całkowitej wariancji? Ponieważ , dla niektórych , czy nie jest jasne, że przekracza ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

Thomas Ahle,

@ThomasAhle Masz rację - słowo „konieczne” było zbyt mocnym słowem dla tego przykładu. Choć ściśle rzecz biorąc, powinno to być jasne, ale często jest to zamieszanie dla czytelników, którzy nie są skłonni do pracy z nim, więc często jest to wyraźne, a nie konieczne, wyrażanie się na ten temat. Istnieją pewne wyrażenia wiążące się z oczekiwaniami, w których nie można być pewnym bez sprecyzowania, ale tak naprawdę nie jest to jedno z nich

Glen_b

W wyrażeniu, w którym uczestniczy więcej niż jedna zmienna losowa, sam symbol nie wyjaśnia, w odniesieniu do której zmiennej losowej przyjmuje się oczekiwaną wartość „wziętą”. Na przykład $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ lub

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

Ani . Gdy w grę wchodzi wiele zmiennych losowych i w symbolu nie ma indeksu dolnego , przyjmuje się oczekiwaną wartość w odniesieniu do ich wspólnego rozkładu: $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

Gdy indeks dolny jest obecny ... w niektórych przypadkach informuje nas, na której zmiennej powinniśmy warować . Więc

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... Ale w innych przypadkach mówi nam, jakiej gęstości użyć do „uśrednienia”

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

Powiedziałbym raczej mylące, ale kto powiedział, że notacja naukowa jest całkowicie wolna od dwuznaczności lub wielokrotnego użytku? Powinieneś spojrzeć, jak każdy autor definiuje użycie takich symboli.

Alecos Papadopoulos
źródło

Mam dwa pytania. 1) Nie jestem pewien, czy dobrze to rozumiem, czy mogę interpretować to oczekiwanie jako jedno z dwóch pierwszych równań, jeśli X lub Y zostały naprawione? 2) Czy możesz podać przykład EQ 4 i EQ 5? Trudno mi je interpretować i myślę, że pomogłyby konkretne przykłady. Dzięki!

sufit kot

@ceiling cat 1) jest poprawne, ponieważ zasadniczo nie masz dwie zmienne losowe. Podobnie do mocowania do .

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

Alecos Papadopoulos

@ceiling cat 2) -EQ5: Rozważ . jest zmienną losową w porządku (dla odpowiedniego wsparcia). Następnie używając specyficznego znaczenia dla skrótu, gdzie jest gęstością (cokolwiek to jest). Oczywiście nie jest zintegrowane i pozostanie nienaruszone. Ale wynik, który uzyskasz wygrał ' t będzie liczbą (jak w moim poprzednim komentarzu), ale zmienną losową (funkcją ), ponieważ tutaj nie jest ustalone, po prostu niezintegrowane

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

Alecos Papadopoulos

@ceiling cat W obu przypadkach w moich dwóch poprzednich komentarzach „mechanika” obliczeń matematycznych będzie taka sama. Wyniki końcowe mają jednak różne interpretacje.

Alecos Papadopoulos

@ceiling kota 2) -EQ4 Rozważmy samą zmienną losową . Jego oczekiwana wartość od to (używając innego znaczenia dla skrótu zapisu) . Zauważ, że tutaj i nie pojawiają się bezpośrednio w całce - są one „skondensowane” w symbolu .

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

Alecos Papadopoulos

Notacja w indeksie dolnym w oczekiwaniach

Odpowiedzi: