Czy średnia i wariancja zawsze istnieją dla wykładniczych rozkładów rodzin?

11

Załóżmy, że losowa zmienna skalarna należy do wykładniczej rodziny wektorowej o formacie pdfX

fX(x|θ)=h(x)exp(i=1sηi(θ)Ti(x)A(θ))

gdzie θ=(θ1,θ2,,θs)T to wektor parametru, a T(x)=(T1(x),T2(x),,Ts(x))T to łączna wystarczająca statystyka.

Można wykazać, że istnieje średnia i wariancja dla każdego Ti(x) . Czy jednak średnia i wariancja dla X (tj. E(X) i Var(X) ) również zawsze istnieją? Jeśli nie, to czy istnieje wykładniczy rozkład rodziny tej formy, której średnia i zmienna nie istnieją?

Dziękuję Ci.

Wei
źródło

Odpowiedzi:

9

Biorąc , , , a daje pod warunkiem , produkujes=1h(x)=1η1(θ)=θT1(x)=log(|x|+1)A(θ)=log(2/(1+θ))θ<1

fX(x|θ)=exp(θlog(|x|+1)log(21+θ))=1+θ2(1+|x|)θ.

Postać

Wykresy są pokazane dla (odpowiednio w kolorze niebieskim, czerwonym i złotym).fX( |θ)θ=3/2,2,3

Oczywiście absolutne momenty wag lub większe nie istnieją, ponieważ całka , która jest asymptotycznie proporcjonalna do , utworzy zbieżną całkę na granicach wtedy i tylko wtedy, gdy . W szczególności, gdy ten rozkład nie ma nawet średniej (a na pewno nie wariancji).α=1θ|x|αfX(x|θ)|x|α+θ±α+θ<12θ<1,

Whuber
źródło
Nie rozumiem warunku . Masz na myśli ? Gdy , nie jest zdefiniowane, a jest ujemne i nie może być pdf. Daj mi znać, co przeoczyłem. Dzięki. θ<1θ>1θ<1A(θ)fX(x|θ)
Wei
Ja przepraszam, bo to znak minus został pominięty w obliczeniach . Zastąpiłem go we wzorach. Naprawdę mam na myśli . Aθ<1
whuber
Dziękuję za przykład. Zgadzam się z momentami. A co z momentami samego ? Na przykład, kiedy w powyższym przykładzie, czy istnieje? |x|x2<θ<1E(x)
Wei
1
Ponieważ całka Lebesgue'a jest zdefiniowana w kategoriach dodatnich i ujemnych części całki, momenty istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy momentyistnieć. x|x|
whuber
@Wei: istnieje tylko, jeśli . Bez tego ograniczenia oczekiwanie nie jest jednoznacznie określone dla niektórych CDF. E{g(X)}E{|g(X)|}<
Dennis