Jak obliczyć średnicę tarczy na podstawie liczby zębów?

11

Czy znając liczbę zębów na tarczy, możemy ustalić dokładną średnicę?

Uszy psa
źródło
Zasadniczo istnieją 3 koła o różnych średnicach (czubki zębów, podstawa lub miejsce, w którym faktycznie znajduje się łańcuch) - który z nich chcesz? Do czego potrzebujesz średnicy?
freiheit
1
piękne odpowiedzi tutaj, ale czy średnica nie jest dwa razy większa niż promień koła?
jackJoe
@jackJoe tak, ale to nie jest pomocne, ponieważ nie znasz promienia.
freiheit
@JackJoe: Jest. Ale nie mamy żadnych informacji poza liczbą zębów, na OP.
zenbike,
1
Uszy psa: Proszę spojrzeć na pytanie na Math.Stackexchange.com. Jest to o wiele bardziej złożone i dokładniejsze badanie problemu. Jeśli chodzi o tę stronę, proponuję wybrać odpowiedź @Lantius. Mój jest dobry i praktyczny do większości celów. Zostanie objęty błędem typowych narzędzi pomiarowych. Nie jest to całkowicie dokładne, a odpowiedź Lantiusa jest lepsza.
zenbike,

Odpowiedzi:

10

Zębatka to wielokąt regularny n-bok, w którym n oznacza liczbę zębów. Długość boku s wielokąta jest odległością od czubka do czubka każdego zęba tarczy.

Wzór na promień wielokąta regularnego jest następujący:


(źródło: mathopenref.com )

Używając zenbike 12,75 mm powyżej dla s , otrzymujemy 107,61 dla promienia lub 215,22 mm dla średnicy, która jest bardzo bliska jego przybliżeniu.

Porównanie dwóch formuł pokazuje, że zgodnie z oczekiwaniami można wyeliminować długość. To pozostawia nam:

1 / sin ( pi / n ) vs. n / pi

W przypadku dużej liczby n terminy te są zbieżne, co powoduje błąd wynoszący zaledwie 0,12 mm, gdy n = 53. Jest nieco większy, gdy n maleje, różni się o 0,64 mm dla n = 11.

Dla wszystkich praktycznych celów użyłbym po prostu s * n / pi , nawet najmniejszy trybik, na jaki się natkniesz, będzie w promieniu milimetra.

lantius
źródło
Interesuje mnie matematyka tutaj. Czy możesz przeliterować (dla tych z nas, którzy mają mniej czasu na lekcji matematyki), co reprezentuje każda zmienna? Myślę, że podążam za tobą, ale nie jestem pewien. Formuła s * n / pi jest taka sama, jak to, co robię, prawda? Skąd bierze się niedokładność dla mniejszej liczby stron? (Zakładając, że podążam za tobą i mam odpowiednie zmienne.)
zenbike,
Czy jest to linia prosta między zębami, a nie opisywany łuk?
zenbike,
1
To linia prosta. Na przykład, jeśli masz niewiarygodnie małą tarczę z ośmioma zębami (wierzchołkami), możesz wyśledzić wokół niej dobrze wyglądający ośmiokąt. Jak można się domyślić, w pomiarze odległości linii prostej wzdłuż krawędzi ośmiokąta i pomnożeniu brakuje dodatkowej odległości, którą łuk zapisałby między tymi punktami, więc całkowity obwód jest nieco krótki. W miarę zbliżania się punktów różnica maleje - wielokąt z milionem małych boków będzie prawie nie do odróżnienia od koła.
lantius
Tak wymyślił. Dziękuję za wyjaśnienie. Jak więc dopasować się do brakującego łuku w pomiarze?
zenbike,
1
Ta sama matematyka w nieco łatwiejszym do strawienia formacie to funkcja crd (theta) en.wikipedia.org/wiki/Chord_(geometry) - wiąże długość cięciwy (w tym przypadku skok łańcucha) z promieniem i kąt. Dostosowano tutaj, 12,7 mm = r crd (360 / n) = 2 * r * sin (180 / n); dlatego r = 6,35 / sin (180 / n) mm. Potrzebujemy TeXa tutaj.
Ehryk
7

Jeśli znasz tylko skok łańcucha (standard dla większości rowerów) i liczbę zębów, możesz w pełni opisać koło (i n-gon) tylko za pomocą środków sworznia . Zrobię co w mojej mocy, aby formuły matematyczne były czytelne z tekstem, ale w pełni opiszę każdy z czterech okręgów / n-gonów:

Koła tarczy

Pozwolić:

n = liczba zębów

L = skok łańcucha (długość ogniwa) (12,7 mm dla większości rowerów)

Poniżej znajdują się pomiary doliny, górnego wałka i górnego zęba. Należy pamiętać, że wierzchołki zębów mogą się różnić w zależności od producenta i będą się zmieniać przez cały okres użytkowania pierścienia. Alternatywna metoda na dole jest prawdopodobnie najłatwiejszą metodą do uzyskania odstępu między ramami.

Ponieważ wiesz, że skok łańcucha (1/2 "lub 12,7 mm to łańcuch z serii 40 zwykle stosowany w rowerze), sworznie łańcucha będą tworzyć regularny n-gon (wielokąt z n-bokami o równej długości) , przy czym każda strona jest równa 12,7 mm. Wzór na obwód tego n-gonu jest raczej prosty (poniżej) i byłby odpowiedni dla większości przybliżeń. Pamiętaj, że jest to również równe długości łańcucha, który byłby owinięty wokół pierścień (łańcuch będzie podążał za n-gonem, a nie za kółkiem).

Obwód n-gona wykonany przez środki pinów

Obwód n-gon = L * n = 12,7 * n mm

Jednak opisywanie okręgu przez środki sworznia nie jest do końca dokładne . Dokładniejsze formuły znajdują się poniżej:

Okrąg przez środki pinów

obwód = pi * L / (sin (180 / n)) = 39,8982 / (sin (180 / n)) mm

promień = L / (2 sin (180 / n)) = 6,35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad' (promień środkowy sworznia)

średnica = L / sin (180 / n) = 12,7 / sin (180 / n) mm = „pcD” (średnica środkowa sworznia)

Teraz będziemy potrzebować dodatkowych informacji, aby opisać dwa powiązane kręgi / n-gonów:

W przypadku podłóg dolnych i blatów rolkowych musimy znać promień lub średnicę rolki łańcuchowej wokół sworznia. Według http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain łańcuch 40 serii ma średnicę rolki 0,312 "(7,92 mm). Ponieważ odległość od środka sworznia do dna doliny jest promieniem wałek:

Okrąg / n-gon o dnie doliny

rRad = promień rolki (3,96 mm dla większości rowerów)

Obwód n-dna dolin = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3,96) * sin (180 / n) mm

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 mm

floorDiameter = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7,92 mm

Okrąg / n-gon szczytów rolek łańcucha

Obwód n-g blatów = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3,96) * sin (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3,96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7,92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7,92) mm

Teraz, aby opisać ostatni okrąg / n-gon, potrzebujemy wysokości zęba powyżej środka sworznia. Spodziewałbym się, że będzie to pozytywne na nowym pierścieniu łańcuszkowym, a negatywne na zużytym:

Okrąg / n-gon końców zębów

t = wysokość wierzchołka zęba powyżej osi sworznia (ujemna, jeśli poniżej)

Obwód n-gon końców zębów = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

Alternatywnie, aby to obliczenie było nieco łatwiejsze (ale nieco mniej dokładne na zużytym pierścieniu łańcucha), możesz zmierzyć swój indywidualny odstęp między zębami. Idealnie byłyby one nieco dłuższe niż skok łańcucha, ale zmieni się to w miarę zużywania się łańcucha:

Okrąg / n-gon końców zębów - naprzemiennie

t Odstęp = średnia odległość między końcówkami zębów

Obwód n-g końców zębów = n * t Odstęp

tipRadius = tSpacing / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

Ehryk
źródło
Mała poprawka do wzorów Ehryka związanych z dnem doliny i wskazówkami. Według [1] łańcuch serii 40 ma średnicę rolki 7,77 mm (0,306 cala). Ehryk's jest dla sieci serii 41. [1]: en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain
6

EDYTOWAĆ:

I napisali to pytanie na math.se i dostał ciekawą odpowiedź , która w zasadzie potwierdza odpowiedź Lantius' jako bardziej dokładnego modelu matematycznego i kopalni jako praktyczne przybliżenie świata rowerowego.


Przy samej liczbie zębów nie.

Ale biorąc pod uwagę liczbę zębów i wymagany odstęp od czubka do czubka każdego zęba, aby dopasować łańcuch do marki zastosowanego pierścienia łańcucha, możesz łatwo określić obwód.

Na podstawie obwodu można łatwo określić średnicę.

Podziel średnicę przez Pi (3,14159 do 5 miejsca po przecinku)

C = D / 3,14159

Więc jeśli liczba zębów wynosi 53, a odstęp wynosi 12,75 mm, mamy obwód 675,75 milimetrów.

675,75 milimetrów podzielonych przez 3,14159 daje średnicę 215,1 milimetra. Przekształcony i zaokrąglony do 2 miejsc, ma 8,46 cala.

Zmierzyłem średnicę 53-zębowego pierścienia Shimano i ma on 8,51 cala. Uważam więc, że moja matematyka powinna być tak dokładna, jak tolerancje w moich pomiarach.

Schemat formuły i metody

zenbike
źródło
Oczywiście za pomocą tarczy masz pytanie, co to jest „średnica” - jak ją mierzyć? Obliczając na podstawie powyższego wzoru, powinieneś otrzymać średnicę koła łańcuchowego - w zasadzie koła opisanego przez kołki łańcucha - a nie średnicę wewnętrzną lub zewnętrzną.
Daniel R Hicks,
W rzeczywistości liczba ta opiera się na pomiarze suwmiarką od czubka zęba do czubka zęba. Jest to obwód opisany przez okrąg umieszczony w taki sposób, aby dotykał końcówki każdego zęba. Przyjąłem też średnicę zewnętrzną, ponieważ to właśnie miałoby znaczenie dla budowania ram.
zenbike
3
I mam nadzieję, że to nie jest eliptyczne :-)
Karl
Tak, teraz, gdy o tym myślę, łańcuch powinien być lekko luźny na tarczy - jednym ze sposobów (grubiańskiego) sprawdzenia rozciągnięcia łańcucha jest wyciągnięcie przedniej linki i sprawdzenie, ile daje - powinno to być około połowa grubości łańcucha. Ale nadal (przynajmniej w teorii) nie obliczasz swojej zewnętrznej średnicy.
Daniel R Hicks
@Daniel R Hicks: Jak to jest? W rzeczywistości działa, tak jak zrobiłem matematykę, i sprawdziłem to względem fizycznego pierścienia łańcucha i pasuje. Czy może nie opisuję tego procesu wystarczająco dobrze?
zenbike