Jak duża jest wariancja szerokości wykresu losowego w G (n, p)?

23

Staram się dowiedzieć, jak blisko i naprawdę są, gdy i jest stałą nie zależnie od n (tak ). Szacuję, że whp, ale nie byłem w stanie tego udowodnić.tw(sol)E[tw(sol)]solsol(n,p=do/n)do>1mi[tw(sol)]=Θ(n)tw(sol)mi[tw(sol)]+o(n)

Kostas
źródło
1
Jaka jest motywacja pytania? (tzn. dlaczego są zainteresowani tym problemem?)
Kaveh
6
Cóż ... zastanawiałem się, w jakim stopniu znajomość niektórych krawędzi może wpłynąć na szacowaną szerokość (wiedza o istnieniu każdej krawędzi może wpłynąć na szerokość co najwyżej jeden), i to doprowadziło mnie do tego pytania (które jest znacznie więcej ciekawe)
Kostas,
2
W szczególności ma to wpływ na górne granice zliczania modeli w zadowalającym reżimie dla przypadkowych przypadków SAT (i kwantowej-SAT), w fazie losowych wykresów Erdosa-Renyi mających duży połączony komponent. W zakresie, w jakim zależy nam na losowym SAT jako temacie informatyki teoretycznej, a także podejściach polegających na rozwiązywaniu problemu złożoności #SAT i podobnych problemów, pytanie to jest dobrze umotywowane.
Niel de Beaudrap,

Odpowiedzi:

13

Nie trzeba obliczać wariancji, aby udowodnić stężenie tw (G (n, p)) wokół jego oczekiwań. Jeśli dwa wykresy G 'i G różnią się o jeden wierzchołek, wówczas ich szerokość różni się o co najwyżej jeden. Możesz użyć standardowej metody nierówności Hoeffdinga-Azumy zastosowanej do martingale ekspozycji wierzchołków, aby pokazać na przykład:

,P.(|tw(sol(n,p))-mitw(sol(n,p))|>t)3)mi-t2)/(2)n)

więc powyższe prawdopodobieństwo dąży do 0, jeśli powiedzmy .t=n0,51

Metodę zastosowano po raz pierwszy w celu wykazania stężenia dla liczby chromatycznej . Patrz B. Bollobás, Losowe wykresy. Springer New York, 1998, strona 298.sol(n,p)

Valentas
źródło