W przypadku problemu, nad którym obecnie pracuję, naturalnie pojawia się rozszerzenie operatora hałasu i byłem ciekawy, czy były wcześniejsze prace. Najpierw pozwól mi zrewidować podstawowy operator hałasu na funkcjach boolowskich o wartościach rzeczywistych. Biorąc pod uwagę funkcję i , st , \ varepsilon = 1 - 2p , definiujemy T _ {\ varepsilon} \ to \ mathbb {R} jako T _ {\ varepsilon} f (x) = E_ {y \ sim \ mu_p} [f (x + y)] f : { 0 , 1 } n → R ε p 0 ≤ ε ≤ 1 ε = 1 - 2 p T ε → R T ε f ( x ) = E y ∼ μ p [ f ( x + y ) ]
jest dystrybucja w uzyskane przez ustawienie każdego bitu o wektora bitowych się niezależnie z prawdopodobieństwem i w inny sposób. Równolegle możemy myśleć o tym procesie jako odwracaniu każdego bitu niezależnym prawdopodobieństwem . Teraz ten operator szumów ma wiele przydatnych właściwości, w tym bycie multiplikatywnym i posiadanie ładnych wartości własnych i wektorów własnych ( gdzie należy do podstawy parzystości).n 1 p 0 x p T ε 1 T ε 2 = T ε 1 ε 2 T ε ( χ S ) = ε | S | χ S χ S.
Pozwól mi teraz zdefiniować moje rozszerzenie , które oznaczam jako . jest podane przez . Ale tutaj nasz rozkład jest taki, że zamieniamy bit od z prawdopodobieństwem i bitów do z prawdopodobieństwem . ( jest teraz wyraźnie rozkładem zależnym od którym funkcja jest oceniana, i jeśliR ( p 1 , p 2 ) R ( p 1 , p 2 ) → R R ( p 1 , p 2 ) f ( x ) = E y ∼ μ p , x [ f ( x + y ) ] μ p , x 1 x 0 p 1 0 x 1 pμ p , x x p 1 = p 2następnie redukuje się do „zwykłego” operatora hałasu.)
Zastanawiałem się, czy ten operator został już dobrze zbadany gdzieś w literaturze? A może jego podstawowe właściwości są oczywiste? Zaczynam od analizy boolowskiej, więc może to być dla kogoś bardziej obeznanego z teorią niż ja. W szczególności interesuje mnie, czy wektory własne i wartości własne mają jakąś ładną charakterystykę, czy też istnieje jakaś właściwość multiplikatywna.
W końcu byliśmy w stanie przeanalizować hiperkontraktyczne właściwościRp1, p2) ( http://arxiv.org/abs/1404.1191 ), bazując na głównej analizie Fouriera dlaRp , 0 autorzy: Ahlberg, Broman, Griffiths and Morris ( http://arxiv.org/abs/1108.0310 ).
Podsumowując, efekt tendencyjnego operatoraRp , 0 na funkcji fa może być analizowany jako symetryczny operator hałasu w przestrzeni pomiaru stronniczości. Daje to słabą formę hiperkontraktacji, która zależy od tego, jakℓ2) norma fa zmienia się po przełączeniu na wybór miary stronniczej μ zależny od p .
źródło