Rozszerzenie operatora hałasu

16

W przypadku problemu, nad którym obecnie pracuję, naturalnie pojawia się rozszerzenie operatora hałasu i byłem ciekawy, czy były wcześniejsze prace. Najpierw pozwól mi zrewidować podstawowy operator hałasu na funkcjach boolowskich o wartościach rzeczywistych. Biorąc pod uwagę funkcję i , st , \ varepsilon = 1 - 2p , definiujemy T _ {\ varepsilon} \ to \ mathbb {R} jako T _ {\ varepsilon} f (x) = E_ {y \ sim \ mu_p} [f (x + y)] f : { 0 , 1 } nR ε p 0 ε 1 ε = 1 - 2 p T εR T ε f ( x ) = E y μ p [ f ( x + y ) ]T.εfa:{0,1}nRεp0ε1ε=1-2)pT.εRT.εfa(x)=miyμp[fa(x+y)]

μp jest dystrybucja w uzyskane przez ustawienie każdego bitu o wektora bitowych się niezależnie z prawdopodobieństwem i w inny sposób. Równolegle możemy myśleć o tym procesie jako odwracaniu każdego bitu niezależnym prawdopodobieństwem . Teraz ten operator szumów ma wiele przydatnych właściwości, w tym bycie multiplikatywnym i posiadanie ładnych wartości własnych i wektorów własnych ( gdzie należy do podstawy parzystości).n 1 p 0 x p T ε 1 T ε 2 = T ε 1 ε 2 T ε ( χ S ) = ε | S | χ S χ S.yn1p0xpT.ε1T.ε2)=T.ε1ε2)T.ε(χS.)=ε|S.|χS.χS.

Pozwól mi teraz zdefiniować moje rozszerzenie , które oznaczam jako . jest podane przez . Ale tutaj nasz rozkład jest taki, że zamieniamy bit od z prawdopodobieństwem i bitów do z prawdopodobieństwem . ( jest teraz wyraźnie rozkładem zależnym od którym funkcja jest oceniana, i jeśliR ( p 1 , p 2 ) R ( p 1 , p 2 )R R ( p 1 , p 2 ) f ( x ) = E y μ p , x [ f ( x + y ) ] μ p , x 1 x 0 p 1 0 x 1 pT.εR(p1,p2))R(p1,p2))RR(p1,p2))fa(x)=miyμp,x[fa(x+y)]μp,x1x0p10x1μ p , x x p 1 = p 2p2μp,xxp1=p2następnie redukuje się do „zwykłego” operatora hałasu.)R(p1,p2))

Zastanawiałem się, czy ten operator został już dobrze zbadany gdzieś w literaturze? A może jego podstawowe właściwości są oczywiste? Zaczynam od analizy boolowskiej, więc może to być dla kogoś bardziej obeznanego z teorią niż ja. W szczególności interesuje mnie, czy wektory własne i wartości własne mają jakąś ładną charakterystykę, czy też istnieje jakaś właściwość multiplikatywna.R(p1,p2))

Amir
źródło

Odpowiedzi:

14

Odpowiem na drugą część pytania.

I. Wartości własne i funkcje własne

Rozważmy najpierw przypadek jednowymiarowy . Łatwo jest sprawdzić, czy operator R p 1 , p 2 ma dwie funkcje własne: 1 i ξ ( x ) = ( p 1 + p 2 ) x - p 1 = { - p 1 ,  jeśli  x = 0 , p 2 ,  jeśli  x = 1. z wartościami własnymi 1 in=1Rp1,p21

ξ(x)=(p1+p2)xp1={p1, if x=0,p2, if x=1.
1 .1p1p2

Teraz rozważ ogólny przypadek. Dla niech ξ S ( x ) = i S ξ ( x i ) . Zauważ, że ξ S jest funkcją własną R p 1 , p 2 . Rzeczywiście, ponieważ wszystkie zmienne x i są niezależne, mamy R p 1 , p 2 ( ξ ( x ) )S{1,,n}ξS(x)=iSξ(xi)ξSRp1,p2xi

Rp1,p2(ξ(x))=Rp1,p2(iSξ(xi))=iSRp1,p2(ξ(xi))=iS((1p1p2)ξ(xi))=(1p1p2)|S|ξS(x).

Otrzymujemy, że jest funkcją własną R p 1 , p 2 z wartością własną ( 1 - p 1 - p 2 ) | S | dla każdego S { 1 , , n } . Ponieważ funkcje ξ S ( x ) obejmują całą przestrzeń, R p 1 , p 2ξS(x)Rp1,p2(1p1p2)|S|S{1,,n}ξS(x)Rp1,p2nie ma innych funkcji własnych (które nie są liniowymi kombinacjami ).ξS(x)

II. Mnożliwość

Ogólnie rzecz biorąc, „właściwość multiplikatywna” nie dotyczy ponieważ podstawa własna R p 1 , p 2 zależy od p 1 i p 2 . Jednakże, ma R 2 s 1 , P 2 = R s " 1 , P " 2 , w którym p ' 1 = 2 t 1 - ( P 1 + sRp1,p2Rp1,p2p1p2

Rp1,p22=Rp1,p2,
i P " 2 = 2 P 2 - ( P 1 + P 2 ) p 2 . Aby stwierdzić, czy pierwsze zauważyć, że R P 1 , P 2 i R s " 1 , P " 2 mają ten sam zestaw funkcyj { Ę S } . Mamy, R 2 p 1 , p 2 ( ξ S )p1=2p1(p1+p2)p1p2=2p2(p1+p2)p2Rp1,p2Rp1,p2{ξS} od 1 - p 1 - p 2
Rp1,p22(ξS)=(1p1p2)2|S|ξS=(1p1p2)|S|ξS=Rp1,p2(ξS)
1-p1-p2)=1-p1(2)-(p1+p2)))-p2)(2)-(p1+p2)))=1-(p1+p+2))(2)-(p1+p2)))=1-2)(p1+p2))+(p1+p2))2)=(1-p1-p2))2).

III. Związek z operatorem Bonami — Beckner

{0,1}nRδ=12)p1-p2)p1+p2)

ZAδ(fa)=fa(x1+δ,,xn+δ).
faZA[fa]
Rp1,p2)(fa)=ZAδ-1T.εZAδ(fa),
ε=1-p1-p2)
Yury
źródło
Yury, dziękuję za odpowiedź! To dobry punkt wyjścia do pracy; Powinienem być w stanie ustalić, czy istnieją analogie hiper-kurczliwej nierówności. Wrócę tutaj, jeśli otrzymam bardziej interesującą analizę.
Amir
To jest bardzo długo po fakcie, ale jestem ciekawy, jak wyprowadziłeś trzecią część i relację z operatorem Beckera Bonami?
Amir
(a) Wystarczy sprawdzić tożsamość fa=1 i fa=xja. Jeśli tak jest1 i xja, łatwo zauważyć, że dotyczy wszystkich postaci. Według liniowości dotyczy wszystkich funkcji. (b) Alternatywnie, od I,T.ε i Rp1,p2)mieć ten sam zestaw wartości własnych; wektor własnyjaS.xja z T. „Odpowiada” wektorowi własnemu jaS.ξ(xja) z R. A zatemR(fa)=ZA-1T.ZA(fa) gdzie A jest mapą liniową, która odwzorowuje ξ(x) do x.
Yury
3

W końcu byliśmy w stanie przeanalizować hiperkontraktyczne właściwości Rp1,p2)( http://arxiv.org/abs/1404.1191 ), bazując na głównej analizie Fouriera dlaRp,0autorzy: Ahlberg, Broman, Griffiths and Morris ( http://arxiv.org/abs/1108.0310 ).

Podsumowując, efekt tendencyjnego operatora Rp,0 na funkcji famoże być analizowany jako symetryczny operator hałasu w przestrzeni pomiaru stronniczości. Daje to słabą formę hiperkontraktacji, która zależy od tego, jak2) norma fa zmienia się po przełączeniu na wybór miary stronniczej μ zależny od p.

Amir
źródło
Możesz „zaakceptować” tę odpowiedź, aby pytanie nie wyskakiwało dalej (zrzeczenie się odpowiedzialności: jestem autorem na powiązanym papierze)
Suresh Venkat