Mogę częściowo odpowiedzieć na twoje pytanie: zliczanie lokalnych optymów dla problemu wyszukiwania z kompletnym PLS może być naprawdę trudne.
Po pierwsze, jak zauważa Yoshio, istnieje problem wyszukiwania w PLS, z którym związany jest problem z liczeniem # P-zupełny. (Nie wiemy jednak, czy P 1 jest kompletnym PLS.) Niech P 2 będzie jakimś problemem związanym z PLS. Następnie zdefiniuj P ', który na wejściu ( x , i ) dla i ∈ { 1 , 2 } , prosi o lokalne optimum dla wejścia x względem P i . Ten problem dziedziczy członkostwo PLS w P 1 , P 2P.1P.1P.2)P.′( x , i )i ∈ { 1 , 2 }xP.jaP.1, P2), dziedziczy kompletność PLS dla , a dla problemu liczenia dziedziczy kompletność # P dla P 1 .P.2)P.1
Podobnie można skonstruować (sztuczny) problem z kompletnym PLS, dla którego NP jest kompletny, aby zdecydować, czy istnieje więcej niż jedno lokalne optimum. Podobnie jak w poprzednim argumentu jeden „zszywki razem” a PLS zupełnych problemem , jak poprzednio, z problemem PLS P 2 , które na wejściu wzór logiczna ψ , ma więcej niż jeden powiązany lokalnego optimum IFF ψ jest spe.P.1P.2)ψψ
Tego rodzaju konstrukcje są nieco niezadowalające, ponieważ próbujemy zbudować problem wyszukiwania który ma dwie właściwości twardości, ale dziedzina Q „dzieli się” na dwie części, z których każda może mieć tylko jedną z dwóch właściwości. Poniżej pokażę, w jaki sposób, biorąc pod uwagę problem z wyszukiwaniem P 1 w PLS, z którym związany jest problem z liczeniem # P-kompletny i biorąc pod uwagę problem z kompletnym PLS P 2 , można zdefiniować problem PLS Q, który jest tak trudny, jak dla obu P 1 i wyszukaj P 2 w sposób „instancja po instancji”.QQP.1P.2)QP.1P.2)
Mianowicie, pokażemy taki sposób, że rozwiązanie problemu zliczania dla P 1 na wejściu x skutecznie ogranicza się do rozwiązania problemu zliczania dla Q na wejściu x , a problem z wyszukiwaniem dla P 2 na wejściu x zmniejsza się do problemu z wyszukiwaniem dla Q na wprowadź x .QP.1xQxP.2)xQx
Dla uproszczenia prezentacji zakładamy, że są takie, że na dowolnym wejściu x długości n przestrzeń kandydata na rozwiązanie powiązana z x jest powyżej ciągów bitów y o długości n c dla pewnego c (ale z różnymi strukturami sąsiedztwa dla P 1 , P 2 ). Niech K I ( x , y ) jest funkcją przydatności związane z P ı .P.1, P2)xnxyndodoP.1, P2)faja( x , y)P.ja
Na wejściu przestrzeń poszukiwań dla Q jest ponad krotkami ( y 1 , y 2 , z , b ), gdzie każde y i jest w { 0 , 1 } n c , z ∈ { 0 , 1 } n c + 1 , i b ∈ { 0 , 1 }x ∈ { 0 , 1 }nQ( y1, y2), z, b )yja{ 0 , 1 }ndoz∈ { 0 , 1 }ndo+ 1b ∈ { 0 , 1 }. Jako funkcję sprawności dla Q definiujemyfa( x , ( y1, y2), z, b ) )Q
jeśli b = 1 , fa( x , ( y1, y2), z,b)):=F1(x,y1)+F2(x,y2)b=1
jeśli b = 0 .F(x,(y1,y2,z,b)):=||y1||+||z||+F2(x,y2)b=0
(To powyżej waga Hamminga.)
Dla struktury sąsiedztwa łączymy każdą krotkę ( x , ( y 1 , y 2 , z , 1 ) ) ( b = 1 ) do wszystkich krotek ( x , ( ( y ′ ) 1 , ( y ′ ) 2 , z ′ , 1 ) ) takie, żeQ(x,(y1,y2,z,1))b=1(x,((y′)1,(y′)2,z′,1))
(A) jest połączone z ( x , ( y ′ ) i ) zgodnie z P i dla i = 1 , 2 , ORAZ(x,yi)(x,(y′)i)Pii=1,2
(B) różnią się co najwyżej o 1 współrzędną.z,z′
W przypadku krotek o wartości łączymy ( x , ( y 1 , y 2 , z , 0 ) ) ze wszystkimi krotkami ( x , ( ( y ′ ) 1 , ( y ′ ) 2 , z ′ , 0 ) ) takie żeb=0(x,(y1,y2,z,0))( x , ( (y′)1, (y′)2),z′, 0 ) )
(A ') jest połączone z ( x , ( y ′ ) 2 ) zgodnie z P 2 , ORAZ( x , y2))( x , ( y′)2))P.2)
(B ') różnią się co najwyżej o 1 współrzędną, podobnie jak y 1 , ( y ′ ) 1 .z, z′y1, ( y′)1
(Uwaga: krotki z są odłączone od krotek z b = 1. )b = 0b = 1
To definicja . Okolice mają wielkość wielomianu zgodnie z wymaganiami, więc Q jest w PLS. QQ
Twierdzenie: Miejscowy optimum wzdłużnych wejścia x według Q są dokładnie dwa następujące zestawy rozłączne:nxQ
(1) wszystkie krotki , gdzie ( x , y i ) to lokalne optimum P i dla każdego z i = 1 , 2 (i z jest dowolne, i b = 1 ); i,( x , ( y1, y2), z, 1 ) )( x , yja)P.jai = 1 , 2zb = 1
(2) wszystkie krotki , gdzie ( x , y 2 ) jest lokalnym optimum dla P 2 , a gdzie zarówno z , y 1 są all-1, i b = 0 .( x , 1ndo, y2), 1n, 0 ) )( x , y2))P.2)z, y1b = 0
Jeśli zgadzają się, wówczas PLS twardość jest natychmiastowe, ponieważ miejscowego optimum ( X , ( Y 1 , Y 2 , z , b ) ) z Q na wejściu x daje lokalnego optimum ( x , y 2 ) z P 2 (dla tego samego wejścia x ), a P 2 jest PLS-twardy.Q( x , ( y1, y2), z, b ) )Qx( x , y2))P.2)xP.2)
Z naszego twierdzenia wynika również, że liczba lokalnych optymów dla xN.( x )x poniżej jest równa ( 2 n c + 1 N 1 ( x ) + 1 ) ⋅ N 2 ( x ) , gdzie N i ( x ) wynosi liczba lokalnych optima dla x poniżej P í . Teraz N 2 ( x ) jest w zakresie [ 1Q( 2ndo+ 1N.1( x ) + 1 ) ⋅ N2)( x )N.ja( x )xP.jaN.2)( x ) , więc mamy[ 1 , 2ndo]
mod 2N.2)(x)=N2(x)mod2 n c + 1 =N(x)mod2 n c + 1 .2nc+1=(2nc+1N1(x)+1)⋅N2(x)2nc+1=N(x)2nc+1
Możemy więc otrzymać biorąc pod uwagę N ( x ) . Następnie możemy również uzyskać N 1 ( x ) , za pomocą prostej algebry:
N 1 ( x ) = ( N ( x )N2(x)N(x)N1(x). PonieważN1(x)jest kompletne do obliczenia przez P, podobnieN(x). Zatem # P-zupełne jest zliczanie lokalnych optymów dlaQ(a liczenie dlaP1sprowadza się do liczenia dlaQw tej samej instancji). N1(x)=(N(x)N2(x)−1)/2nc+1N1(x)N(x)QP1Q
Nie wiem, jak obniżyć takie połączenie, łącząc twardość PLS z twardością NP, decydując o wyjątkowości lokalnych optymów w sposób „instancja po instancji”.
Jeśli chodzi o to, czy każdy problem wyszukiwania z kompletnym PLS powoduje problem z liczeniem # P, nie wiem tego. Wydaje się, że jest to związane z pytaniem, czy dla każdego problemu decyzyjnego L kompletnego NP i każdego weryfikatora czasu policyjnego dla L związany z tym problem liczenia świadków jest # P-kompletny. # P-kompletność obowiązuje we wszystkich szczególnych przypadkach, które ludzie rozważali, i w pewnych względnie łagodnych warunkach, ale ogólnie jest otwarta. Zobacz tę dyskusję .V(x,y)L
W przypadku konkretnego, bardziej naturalnego problemu wiadomo, że jest kompletnym PLS, można ustalić kompletność # P do zliczania lokalnych optymów, podając redukcję PLS z powiedzmy Dopasowywanie do Q, która ma pewne specjalne właściwości odpowiednie do zliczania. Może istniejące techniki są wystarczające; Nie próbowałem się przekonać.QQ
Rozważ maksymalny problem z dopasowaniem w grafach dwustronnych. Rodzina możliwych rozwiązań obejmuje wszystkie dopasowania, a wyszukiwanie lokalne odbywa się poprzez znalezienie ścieżek rozszerzających. Problem należy do PLS, ponieważ ścieżkę rozszerzającą można znaleźć w czasie wielomianowym, jeśli bieżące dopasowanie nie jest maksymalne, a maksymalność można sprawdzić w czasie wielomianowym. Dowolne lokalne optimum jest maksymalnym dopasowaniem (tj. Globalnym optymalnym). Jednak # P-trudne jest obliczenie liczby maksymalnych dopasowań na wykresie dwustronnym.
Ponieważ lokalne optimum można znaleźć w czasie wielomianowym, jest mało prawdopodobne, że problem będzie kompletny z PLS. Obawiam się, że nie jest to zamierzona odpowiedź (twoje pytanie ogranicza się do problemów z kompletnym PLS). Należy jednak zauważyć, że policzenie liczby lokalnych optymów może być trudne, nawet jeśli jedno lokalne optymalne można znaleźć skutecznie.
źródło