Kiedy wielomianowy GI oznacza wielomianowy (krawędziowy) GI?

Skrzyżowane z MO .

Izomorfizm kolorowego wykresu (krawędzi) to GI, który zachowuje kolory (krawędzi, jeśli jest w kolorze krawędzi).

Istnieje kilka obniżek przy użyciu transformacji / gadżetów GI (krawędzi) w kolorze do GI. W przypadku GI w kolorze krawędzi najprostsze jest zastąpienie kolorowej krawędzi gadżetem chroniącym GI kodującym kolor (najłatwiejszym przypadkiem jest podzielenie krawędzi wystarczająco często). W przypadku oznaczenia geograficznego w kolorze wierzchołka dołącz gadżet do wierzchołka.

Załóżmy, GI wielomianu dla niektórych klas wykres .$C$

P1 Dla którego wielomianu C implikuje się GI wielomianu (krawędzi)?$C$

Korzystanie z gadżetów zmniejszenie może dokonać nie wykresy członkowie .$C$

Z drugiej strony niektóre gadżety / transformacje mogą sprawić, że wykresy będą członkami innej wielomianowej klasy GI.

Przykład redukcji koloru krawędzi .$G \to G'$

Zrób klikę . Kolorowe krawędzie w E ( G ) z 1 i bez krawędzi z 0 . Jest to funkcja kolorowania, która zachowuje G, a aby odzyskać G z G , po prostu weź krawędzie w kolorze 1 . G ′ to klika, cograf, wykres permutacji i prawie pewne w wielu innych fajnych klasach. Podziału krawędzie nieparzystą liczbę razy (różne dla 0 , 1 usuwa kolorów i sprawia G ' doskonałą wykres dwustronnego konserwujące izomorfizm).$V(G)$$E(G)$$1$$0$$G$$G$$G'$$1$$G'$$0,1$$G'$

Być może innym podejściem jest pobranie wykresu liniowego i dodanie wiszących (uniwersalnych) wierzchołków połączonych z wierzchołkami odpowiadającymi E ( G ′ ) .$G'$$E(G')$

Q2 Czy są jakieś fajne gadżety / transformacje dla podobnych konstrukcji?

Myśl o planowaniu poprzez wybranie uniwersalnego rysunku kliki i zastąpienie skrzyżowania krawędzi gadżetami płaskimi zachowującymi kolory, powiedzmy C 4 , C 6 dla równych kolorów i coś innego dla wyraźnych kolorów. Nie wiem, czy to zachowuje izomorfizm.$G'$$C_4,C_6$

Innym możliwym podejściem może być automorfizm zachowujący kolor lub podziel każdą krawędź , użyj 3 kolorów 0 , 1 , 2 dla wierzchołków V ( G ) , E ( G ) , E ( ¯ G ) i spróbuj rozpoznać wykresy komplementarne automatycznie przez automorfizm zamiana E ( G ) i E ( ¯ G ) .$K_n$${0,1,2}$$V(G),E(G),E(\overline{G})$$E(G)$$E(\overline{G})$

P3 Czy można obliczyć grupę automorfizmów w poddziale ?$K_n$

Zamówienia po kilku początkowych terminach to czyli A052565$12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Dima sugeruje, że może to być łatwe dla wystarczająco dużych, a początkowe warunki są wyjątkami.$n$

$K_n$$n > 4$$0$$2$$1$$2$$1$$2$

Dodano artykuł o rozpoznawaniu wykresów Cayleya str. 86 :

Biorąc pod uwagę graf Cayleya klasy C i graf G w kolorze krawędzi n wierzchołków i krawędzi m, interesuje nas problem sprawdzania, czy istnieje izomorfizm φ zachowujący kolory w taki sposób, że G jest izomorficzny o φ względem wykresu w C pokolorowane przez elementy jego zespołu generującego. W tym artykule podajemy algorytm czasu O (m log n), aby sprawdzić, czy G jest izomorficzny względem koloru na wykresie Cayleya.

Wydaje się to zbliżone do pytania, czy jest istotne?

P2: dobrym przykładem jest gadżet do tworzenia wykresów służący do udowodnienia, że:

$\leq_T^L$

Zobacz Thomas Thierauf, Fabian Wagner: Problem izomorfizmu dla płaskich 3-połączonych wykresów znajduje się w jednoznacznej przestrzeni logicznej. Teoria Oblicz. Syst. 47 (3): 655–673 (2010 r.)

Użyty „gadżet etykietowania” zachowuje ograniczenia związane z 3 połączeniami i płaskością.

Częściowa odpowiedź, nie rozumiem wystarczającej teorii grup, ale wydaje się, że dwa artykuły dają częściowe wyniki.

$G \to G'$

$V(G)$$e \in E(G')$$1$$e \in E(G)$$0$$G$$G'$$1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

Ten artykuł twierdzi:

$O(n^2 (\log n)^6 )$$n$

Dokładna definicja „koloru krawędzi” nie jest dla mnie jasna.

Papier potwierdzający, że układ krążenia GI jest wielomianem w przypisie do roszczeń p.1:

Przez wykres rozumiemy zwykły wykres, digraf, a nawet wykres w kolorze krawędzi

Zapytano na MO, jakie są ograniczenia dotyczące kolorowania.