Reprezentująca funkcję logiczną przez wielomian

Załóżmy, że mamy funkcję boolowską od . Oczywiste jest, że prawdziwy wielomianowy wielomian p ( x ) taki, że f ( x ) = p ( x ) na x ∈ { 0 , 1 } n może być wieloliniowy. Jakie są ciekawe klasy funkcji boolowskich, dla których minimalny stopień p ( x $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$$p(x)$$f(x)=p(x)$$x\in\{0,1\}^n$$p(x)$jest znana? Czy mamy konkretne przykłady?

Każda funkcja, która ma niezerową korelację z parzystością ma stopień . Oznacza to, że jeśli ∑ x ∈ { 0 , 1 } n ( - 1 ) ∑ i x i f ( x ) ≠ 0, wówczas unikalne wieloliniowe rozszerzenie f zawiera monomial x 1 ⋯ x n . Rzeczywiście, ponieważ ( - 1 ) x i = 1 - x $n$

$$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$$ $f$$x_1\cdots x_n$ , rozszerzenie Fourieraf(wyrażonejako iloczyn iloczynu1-x$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$$f$ ) będzie zawierać termin∏i1-x$\frac{1-x_i}{2}$ i odpowiadające JednomianΠixinie pojawia się w każdym innym czasie.$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$$\prod_i x_i$

Nisan i Szegedy udowodnili, że funkcje stopnia zależą co najwyżej od zmiennych d 2 d . Dla d = 1 możemy być dokładniejsi: funkcja musi zależeć co najwyżej od jednej współrzędnej.$d$$d2^d$$d = 1$

Zawierają klasy funkcji boolowskich z unikalną prezentacją wieloliniową

1. Funkcje pseudoloolowe nad rzeczywistymi (Twierdzenie 1.34 [1])

2. Funkcja boolowska nad jednostką kostki $[0,1]^n$

tło

„Każda funkcja boolowska może być reprezentowana przez rozłączną postać normalną i przez koniugacyjną postać normalną”. (Twierdzenie 1.4 (p.16 [1])

$\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$$\vee (\prod x \prod (1-x))$$\sum c \prod x$$F$$\mathcal B^n$$\mathcal P(N)$$\oplus$$f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

a ich aplikacje zawierają

• $[0,1]^n$

• $[0,1]^n$

• (obwody) Złożoność wieloliniowego obliczania wielomianowego Funkcja boolowska

• (analiza Fouriera) Dolne granice dla wielomianów obliczających funkcje boolowskie

Bibliografia

[1] Teoria, algorytmy i zastosowania funkcji logicznych (Yves Crama, Peter L. Hammer, 2011)