Dlaczego funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest tak popularna?

Jako stosunkowo początkujący analityk ilościowy / analityk kosztowy, zostałem poproszony o kilkakrotne oszacowanie poziomu wydajności danej organizacji, a następnie prognozowanie na kolejne kilka okresów. Miejsce, w którym pracuję, to stosunkowo niewielka organizacja non-profit (około 30 osób) zajmująca się dystrybucją darowizn banków żywności i pozyskiwaniem ochotników, więc nie jestem pewien, czy wielkość firmy ma z tym coś wspólnego.

Przez większość czasu pytano mnie o konkretne jednostki, a nie o zmiany procentowe czy elastyczności, więc jestem zmuszony przedstawić jedną z dwóch funkcji produkcyjnych.

1. $$f(x_1,...,x_n)=\Sigma_{i=1}^n\beta_i x_i$$
2. $$f(x_1,...,x_n)=\gamma \min(x_1,...,x_n)$$

Jednak kiedy czytam literaturę ekonomiczną, widzę, że cobglowiec (lub jego odmiana, jak kamienny gerry) jest cały czas używany.

Wiem, że ma tę właściwość, że matematycznie pokazuje malejące zyski skali dla pojedynczego czynnika produkcji, jednak mam trudności z dostrzeżeniem tego w mojej pracy. Czy jest to funkcja produkcyjna wyłącznie do produkcji prawdziwych towarów?

Powód, dla którego funkcje produkcyjne Cobba Douglasa są tak popularne, wynika z faktu, że spełnione są następujące założenia, przy jednoczesnym zachowaniu ścisłej statystyczności ¹ :

Przypomnij sobie funkcję funkcji produkcji Cobba-Douglasa:

gdzie (tj. udział produkcji globalnej przeznaczonej na kapitał)$0<\alpha <1$

$1)$ Pozytywne produkty marginalne:

$2)$ Zmniejszające się produkty krańcowe (jak już wspomniałeś)

$3)$ Stały powrót do skali (tak działa większość procesów produkcyjnych)

dla każdego (np. „Podwójne wejście Podwójne wyjście w ”)$\lambda \ge 0$$\Rightarrow$

Mam nadzieję że to pomoże!!

_{¹ Źródło: https://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function}

Jak sugerujesz w swoim pytaniu, prawdziwym powodem (moim zdaniem) popularności funkcji produkcji CD jest wygoda matematyczna. Fakt, że suma jest ładną, intuicyjną reprezentacją „powrotu do skali” jest bardzo wygodny.$\alpha + \beta$

Myślę, że jego użycie jest podobne do użycia narzędzi wykładniczych lub energetycznych w finansach matematycznych. Nierealne? Być może, ale och, tak przyjazny dla pracy.

Okej, myślę, że poczyniłem wiele domniemanych założeń, ponieważ byłem zaskoczony twoimi funkcjami w ostatniej odpowiedzi, co sprawiło, że moja odpowiedź sama w sobie była bardzo myląca. Więc tym razem staram się być bardziej wyraźny. Rozważę tylko twoją pierwszą funkcję.

Jeśli jest to funkcja produkcyjna, to są wejściami, a ty masz tylko jedno wyjście. Teraz twoja funkcja produkcyjna ma następujące właściwości: i . Oznacza to, że twoje dane wejściowe są całkowicie niezależne od siebie. Możesz osiągnąć ten sam wynik za pomocą tylko lub tylko . Nie ma to sensu, jeśli twoje nakłady to kapitał i praca (przynajmniej dopóki nie w pełni zautomatyzujemy produkcję, w której nie potrzebujesz człowieka w procesie produkcji). Ponieważ jeśli którykolwiek z nich ma wartość 0 w prawdziwym świecie, nie uzyskałbyś żadnych danych wyjściowych.$x_i$$\frac{df}{dx_i}=\beta_i$$\frac{df}{dx_jdx_i}=0$$x_1$$x_2$

Ta uwaga doprowadziła mnie do przekonania, że ​​twoje modelowe metody produkcji , co oznacza, że ​​zawierają już mieszankę kapitału i pracy. W takim przypadku po prostu zoptymalizujesz te różne metody produkcji i wybierzesz najlepszą. Ten z najwyższym do kosztu. Ponieważ na poziomie przedsiębiorstwa koszty krańcowe najprawdopodobniej byłyby stałe.$x_1$$\beta_i$

Jest to rozsądny model z perspektywy firm. Możesz wybierać tylko między tymi metodami produkcji, więc fakt, że połączyłeś kapitał i pracę, nie dotyczy ciebie. Optymalizujesz funkcję i wybierasz najlepszą metodę produkcji, biorąc pod uwagę koszty stałe. (Zakładane) uproszczenie polega na tym, że nie bierze się pod uwagę, w jaki sposób ekspansja lub produkcja zmienia koszt krańcowy w ramach metody produkcji.

(Jeśli ekspansja byłaby na skalę ekonomiczną, to zwiększyłbyś płacę pracowników, zatrudniając ich więcej, co w pewnym momencie spowodowałoby wybór bardziej kapitałochłonnej metody produkcji)

Ekonomiści podchodzą do tego z innej strony: interesuje ich stosunek kapitału do pracy, a nie konkretna metoda produkcji. Chcą funkcji, która bierze na siebie kapitał i pracę, wybiera najlepszą metodę produkcji, biorąc pod uwagę ten wkład i zwraca wynik. Zakładają, że na taką skalę istnieje tyle różnych metod produkcji, że można je przeczesać i zasadniczo uzyskać ciągłą funkcję w Kapitale i pracy.

Chcą modelu, który ma właściwość którą zapewnia funkcja Cobba-Douglasa.$\frac{df}{dx_jdx_i}>0$

Zasadniczo porównujesz symulację cząstek z symulacją płynów. Równania do modelowania pojedynczej cząsteczki wody będą się różnić od modelowania strumienia wody. I może się wydawać, że jedno nie ma nic wspólnego z drugim.

Inną możliwością, o której myślałem, było to, że ta funkcja jest faktycznie funkcją kosztów produkcji wyników ale z definicji masz stały koszt krańcowy . Co znowu jest założeniem rozsądnym do przyjęcia na poziomie mikro, ale nie na poziomie makro.$(x_1, ...,x_n)$$x_i$

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest tak popularna, tylko dlatego, że jest jedną z niewielu funkcji, dla których można bezpośrednio obliczyć funkcje popytu (i podaży wyjściowej). Funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest zwykle używana na poziomie licencjackim (wykłady, egzaminy i ćwiczenia), ponieważ możemy rozwiązać system warunków pierwszego rzędu. Jednak ta funkcjonalna forma jest bardzo restrykcyjna, a jej ważność jest empirycznie odrzucona. Tak więc na poziomach mistrzowskich przekształcamy teorię mikroekonomiczną przy użyciu nieograniczonych form funkcji produkcyjnej (patrz np. Podręcznik Mas Colell i in.) I używamy albo twierdzenia o funkcji implikowanej, albo teorii dualności do uzyskania porównawczych wyników statycznych.