Który z aksjomatów Anscombe-Aumanna implikuje zasadę Pewności?

Rozważ ustawienie Anscombe-Aumann i załóż, że relacja preferencji spełnia wszystkie oryginalne aksjomaty Anscombe-Aumanna (racjonalność, ciągłość, niezależność i monotoniczność).

Jeśli ograniczymy uwagę do czystych wyścigów konnych (tzn. Działają bez obiektywnej niepewności), model Anscombe-Aumann sprowadza się do reprezentacji Subiektywnie oczekiwanej użyteczności a la Savage. Dlatego w przypadku czystych wyścigów konnych decydent spełnia wszystkie aksjomaty Dzikusa, w szczególności Zasada Pewności (P2 w terminologii Savage'a).

Nie widzę bezpośredniego związku między aksjomatami Anscombe-Aumanna i Zasadą Pewności. Czy ktoś widzi, jak implikuje Zasada Pewności w aksjomatach Anscombe-Aumanna? W szczególności, czy wynika to wyłącznie z niezależności, czy też wymagana jest niezależność i monotoniczność?

Jako pierwsza uwaga: aksjomaty Anscombe-Aumanna, w szczególności Niepodległość, są zdefiniowane nad czynami przenoszącymi przestrzeń stanu do przestrzeni liniowej (generalnie proste loterie nad obiektami konsumpcyjnymi). Nawet jeśli weźmiemy pod uwagę ograniczenie modelu do czysto subiektywnie niepewnych działań, nadal musimy zastosować pełny model, inaczej stracimy informacje.

To powiedziawszy: pozwólmy $S$ być skończoną przestrzenią stanów i $X$skończony zestaw alternatyw. Pozwolić$\Delta(X)$ oznacz wszystkie zakończone loterie $X$ i $f: S \to \Delta(X)$jest aktem. Na wydarzenie$E \subseteq S$, pozwolić $f_{-E}g$ być aktem zdefiniowanym przez

$$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$$

Teraz możemy powiedzieć, że nasz model spełnia zasadę pewności, jeśli$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$i a następnieTa definicja obowiązuje dla wszystkich aktów, nie tylko bez obiektywnego ryzyka, ale oczywiście można rozważyć tylko odpowiednią prognozę.$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$$f \succsim g.$

Załóżmy, że poprzednik STP. Od niezależności mamy Zauważ, że możemy przepisać to jako i stosując ponownie niezależność, otrzymujemy $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$

$$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$$ $$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}$$

W analogiczny sposób od niezależności mamy Ponownie możemy przepisać jako i ponownie stosując niezależność otrzymamy $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$$ $$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}$$

Łączenie (1) i (2) za pomocą przechodniości daje pożądane relacje. Wracając do uwagi wstępnej, zauważ, że aby zastosować niezależność, musimy mieszać akty, odwołując się do obiektywnego ryzyka. Zatem nawet jeśli , i nie mają obiektywnego ryzyka, nadal potrzebujemy ryzykownych działań, aby służyć jako pośrednik w dowodzie. W pewnym sensie jest to wielki wgląd w całą strukturę AA - przy użyciu obiektywnego ryzyka, aby obejść konieczność nieskończonej przestrzeni państwowej, stosując liniowość oczekiwań w celu wymuszenia STP.$f$$g$$h$

Zauważ, że użyto tylko niezależności i przechodniości. Powinno to wskazywać, że nawet zależna od państwa UE (gdzie zawodzi monotoniczność / niezależność państwa) lub Bewley UE (gdzie kompletność jest złagodzona) nadal spełnia STP.

---

Edytuj w odpowiedzi na komentarz: Wywołaj powyższe pojęcie Sure Thing Principle STP1 i powiedz, że preferencja spełnia STP2, jeśli dla wszystkich . Jeśli więc jest zamówieniem przedpremierowym, spełnia STP1 wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia STP2.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$$f,g,h,h'$$\succsim$

Najpierw załóżmy, że STP2 utrzymuje i że oraz . Następnie przez STP2 mamy Przechodniość implikuje ; STP1 trzyma.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$$ $f \succsim g$

Następnie załóżmy, że STP1 utrzymuje i . Zdefiniuj i analogicznie. Z definicji więc nasze założenie jest identyczne, że Dalej więc dzięki refleksyjności preferencji Teraz możemy zastosować STP1 do (3) i (4), aby uzyskać$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$\hat f = f_{-E}h'$$\hat g$

$$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$$ $$\begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation}$$ $\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$ $$\begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation}$$ $\hat f \succsim \hat g$, które, biorąc pod uwagę ich definicję, dokładnie to, co musimy pokazać, aby STP2 mógł się zatrzymać.