Czy istnieje sposób na powiązanie twierdzenia Berge'a o maksimum z twierdzeniem Obwiednia?

Twierdzenia Berge'a

Niech , będzie wspólną funkcją ciągłą, być ciągłą (obie górna i dolna półksiężyca) kompaktowa wartość. Funkcja maksymalizująca wartość i maksymalizator to V (\ theta): = \ max_ {x \ in X} f (x, \ theta) C ^ \ ast (\ theta): = \ {x \ in C (\ theta) \ mid f (x, \ theta) = V (\ theta) \} Następnie V: \ Theta \ do \ mathbb R jest ciągły, a C ^ \ ast: \ Theta \ rightrightarrows X jest górna półksiężyca.$X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$$f : X \times \Theta \to \mathbb R$$C : \Theta \rightrightarrows X$

$$V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$$ $$C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$$ $V : \Theta \to \mathbb R$$C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

Według Varian's Microeconomic Analysis (1992), str. 490, twierdzenie o kopercie jest po prostu:

$$\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$$

$x(a)$ jest maksymalizatorem $f(\cdot, a)$ .

Wydaje mi się, że twierdzenie o kopercie pociąga za sobą twierdzenie Berge'a, ale wyprowadzenie wygląda na znacznie prostsze. Czy istnieje związek między nimi?

Są ze sobą powiązane i zwykle podlegają tej samej dyskusji, ale jak wspomina @Alecos w komentarzach, oba twierdzenia pokazują różne rzeczy.

Przypuszczam, że szukanym połączeniem jest fakt, że jeśli pochodna istnieje, dlatego, że odmienność oznacza ciągłość, możesz być w stanie uzyskać z niej część twierdzenia o maksimum. Aby jednak porównać i przeciwstawić dwa twierdzenia, nie należy po prostu patrzeć na wyniki. Musisz także przyjrzeć się założeniom. Na przykład, twierdzenie o maksimum nie zakłada żadnej różniczkowalności. Twierdzenie o obwiedni ma (przynajmniej niektóre jego formy). W każdym razie założenia, które dotyczą każdego z nich, są różne (niektóre silniejsze, inne słabsze).

Jest też to. Twierdzenie o obwiedni nie mówi ci nic o funkcji kontrolnej. Dlatego zdecydowanie nie będziesz w stanie uzyskać wyniku, że jest górną półkulistą.$C^*$

Cytując OP z komentarza

Jakie warunki dotyczące funkcji użyteczności i ograniczenia pozwalają nam zastosować twierdzenie obwiedni dopiero po ustaleniu ciągłości funkcji wartości przez twierdzenie Berge'a? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

W cytowanym dokumencie Lucas (1978), Propozycja 1 to potwierdza

gdzie to funkcja wartości, a to jej definicja. Wygląda więc na to, że ciągłość funkcji Price jest tutaj wyszczególniona jako warunek, ale wcześniej w pracy Lucas definiuje funkcję Utility jako funkcję nieujemną, która jest$v(z,y;p)$$(i)$

stale różnicowalne, ograniczone, rosnące i ściśle wklęsłe

Twierdzenie 2 artykułu ustanawia zróżnicowanie funkcji wartości, nie wymagając dalszych założeń.