Czy fala trójkąta miałaby skończone lub nieskończone sinusoidalne elementy?

22

Nieciągłość powoduje, że sygnał ma nieskończone składowe sinusoidalne, ale fala trójkątna jest ciągła, brałem udział w zajęciach, w których instruktor powiedział, że ponieważ fala trójkątna jest ciągła, może być reprezentowana przez skończoną liczbę elementów sinusoidalnych, a także pokazała skończone dodanie wielu częstotliwości sinusoid, które nadały kształt fali czystego trójkąta.

Jedyny problem, jaki mam na myśli, to to, że pochodna fali trójkątnej nie jest ciągła, ponieważ jest falą kwadratową, a zatem potrzebowałaby nieskończonej sumy sinusoid, więc jeśli wyprowadzimy obie strony wzoru szeregu Fouriera fali trójkątnej , otrzymalibyśmy falę kwadratową pokazaną jako suma skończonej liczby sinusoid. Czy to nie byłoby nieprawidłowe?

fourier Syed Mohammad Asjad
źródło
10
Fala trójkąta ma nieskończoną serię Fouriera. Pamiętaj, że tutorzy są omylni.
Autistic
Co powiedział twój instruktor, kiedy go zapytałeś?
Solar Mike,
5
@Syed Mohammad Asjad: twoje rozumowanie z pochodną jest prawidłowe. Może lepiej rozumiesz sprawę niż twój instruktor.
Curd
6
W rzeczywistości, aby uzyskać skończoną serię Fouriera, funkcja i WSZYSTKIE jej pochodne muszą być ciągłe. Wszystkie pochodne sinusoidy są ciągłe, i dotyczy to również każdej skończonej sumy sinusoid.
Dave Tweed
1
Nie odpowiedź, ale: Szeregi Fouriera o skończonych współczynnikach są bardzo restrykcyjne. Większość funkcji okresowych ma nieskończoną serię Fouriera. Jednak im bardziej płynna jest funkcja, tym szybszy jest spadek współczynników w nieskończoności. Jeśli funkcja jest k razy różniczkowalna przy ograniczonej pochodnej, to jej współczynniki Fouriera (c_n) zanikają tak szybko, jak 1 / n ^ (k + 1), co można zobaczyć przez indukcję. W przypadku funkcji analitycznych (funkcji z zbieżnymi szeregami Taylora, tj. Nawet bardziej płynnych niż nieskończenie różnicowalnych) rozpad jest wykładniczy. Trójkąt ma szereg Fouriera, który wynosi dokładnie 1 / n ^ 2.
Alexandre C.,

Odpowiedzi:

21

fala trójkąta jest ciągła

Cytat stąd : -

Fala trójkąta nie ma nieciągłych skoków, ale nachylenie zmienia się nieciągle dwa razy na cykl

Nieciągła zmiana nachylenia oznacza również nieskończony zakres składowych sinusoidalnych.

Na przykład, jeśli zintegrujesz falę kwadratową w czasie, utworzysz falę trójkątną, ale wszystkie hamoniki pierwotnej fali kwadratowej są nadal obecne po całkowaniu czasu: -

enter image description here

Andy aka
źródło
Myślałam tak samo, reprezentacja graohiczna pomogła wiele, dziękuję :)
Syed Mohammad Asjad
21
instruktor powiedział, że ponieważ fala trójkąta jest ciągła, może być reprezentowana przez skończoną liczbę sinusoidów

Albo źle zrozumiałeś, albo instruktor źle napisał. Nie wystarczy, aby sam sygnał był ciągły, ale wszystkie pochodne również muszą być ciągłe. Jeśli występuje jakaś nieciągłość w dowolnej pochodnej, to powtarzający się sygnał będzie miał nieskończoną serię harmonicznych.

Trójkąt jest ciągły, ale jego pierwszą pochodną jest fala kwadratowa, która nie jest ciągła. Fala trójkątna ma zatem nieskończoną serię harmonicznych.

Olin Lathrop
źródło
1
Nie, nie usłyszał źle, nie popełnił błędu, ponieważ powiedział to dwa razy, a także zapytał później klasę, co powiedział, i dokładnie o tym, co myślałem :)
Syed Mohammad Asjad
@SyedMohammadAsjad masz rację. Z google; misspeak: „ wyrażaj siebie w sposób niewystarczająco jasny lub dokładny”. Myślę, że jeden z was używa „niedostatecznie wyraźnego”, a drugi używa „niedostatecznie dokładnego”.
uhoh,
Chociaż sformułowanie tych odpowiedzi w pewnym stopniu to sugeruje, fakt, że wszystkie pochodne istnieją (a zatem są ciągłe, przez istnienie następnej pochodnej), wciąż jest daleki od wystarczającego do uzyskania skończonej serii Fouriera. Większość szeregów Fouriera dla sygnałów okresowych, jednak gładkich (klasa $ \ mathcal C ^ \ infty $, a nawet analityczna) ma nieskończenie wiele niezerowych składników; trudno wymyślić opis tych, które nie są inne niż „skończone sumy sinusów i cosinusów”. Wszystko, co implikuje gładkość, to fakt, że współczynniki mają tendencję do 0.
Marc van Leeuwen,
filtr ceglany może zmniejszyć liczbę harmonicznych i nadal wygląda / \ / \ / \ / \ / \ / trójdzielny z co najmniej 20, daleko od infinte
Tony Stewart Sunnyskyguy EE75
11

Dowód matematyczny:

Weź funkcję złożoną z ważonej sumy skończonej serii elementów sinus / cosinus.

Jej pochodna jest również ważoną sumą skończonej serii składników sinus / cosinus. To samo, jeśli wyprowadzasz dowolną liczbę razy.

Ponieważ sinus i cosinus są ciągłe, funkcja i wszystkie jej pochodne są ciągłe.

Tak więc funkcja mająca nieciągłość w którejkolwiek z jej pochodnych nie może być zbudowana ze skończonej serii składników sinus / cosinus.

peufeu
źródło
Dokładnie to, co myślałem, dziękuję :)
Syed Mohammad Asjad
Powinny być „sinus i cosinus są gładkie”, a nie tylko ciągłe - ale istota jest poprawna, skończona suma sinusów i cosinusów jest gładka, więc nie może mieć nieciągłości w żadnej z jej pochodnych
nimish
1
@nimish Udowadnia, że ​​wszystkie pochodne są skończonymi sumami (ko) sinusów, dlatego potrzebuje tylko ciągłości (co) sinusów, a nie gładkości :-)
yo '11
Tak, przegapiłem to. Chociaż z analityczności $ \ exp (z) $ za $ z \ in \ mathbb {C} $, to i tak wygląda trywialnie.
nimish
Wyrazy uznania dla odpowiedzi matematycznej, która wyjaśnia matematykę zamiast po prostu wkleić!
uhoh,
7

Mnóstwo dobrych odpowiedzi tutaj, ale tak naprawdę zależy od twojej interpretacji „może być reprezentowany przez” .

Trzeba zrozumieć, że fala trójkąta jest teoretyczną konstrukcją matematyczną, która w rzeczywistości nie może istnieć.

Z matematycznego punktu widzenia, aby uzyskać czystą falę trójkątną, potrzebna byłaby nieskończona liczba harmonicznych fal sinusoidalnych, ale aby uzyskać reprezentację fali trójkątnej, większość tych elementów jest zbyt mała, aby mogła mieć znaczenie, zatracić się w hałasie tła system lub mają tak wysoką częstotliwość, że nie można ich już przesyłać.

Jako taki, w praktyce potrzebujesz tylko skończonej liczby, aby uzyskać użyteczną reprezentację. Jak dobra jest ta reprezentacja, decyduje o tym, ile harmonicznych należy użyć.

Trevor_G
źródło
1
To jest rzeczywiście jedna z rzeczy, na które należy spojrzeć, z pewnością zapytam mojego nauczyciela, czy miał na myśli to, że masz rację, w rzeczywistości w ogóle nie przechodzimy do nieskończonych częstotliwości, nawet w kwadratowej fali (która nie jest t a pure square) :)
Syed Mohammad Asjad
Chociaż masz rację, że trójkątna fala jest konstrukcją matematyczną, twoje rozumowanie jest błędne. Fakt, że nie można uzyskać skończonej liczby harmonicznych, nie stanowi dowodu, że nie można tego zrobić.
jo '11
@yo 'rzeczywiście, jest to jedna z tych rzeczy, z którymi myślę, że wielu z nas ma trudności. Jeśli fala trójkąta = nieskończona liczba fal sinusoidalnych w pewnym momencie, nie można dodać ani przekazać harmonicznych. Jeśli to tylko fala trójkąta ... generowana w inny sposób ... to co ... jak ją przesyłasz ... i skąd rzecz, która ją transmituje, zna różnicę ... Sprawia mi ból głowy o tym .. Zasadniczo, nawet jeśli jest to tylko krótki kawałek drutu lub śladu płytki drukowanej ... nie może tego zrobić bez zniekształcenia.
Trevor_G,
1
Różnica między matematycznym ideałem a światem rzeczywistym, w pigułce.
peterG
3

Inne podejście.

Nazwijmy x (t) falą trójkąta, ay (t) to pochodna, która jest falą kwadratową, a zatem nieciągłą.

Gdyby x (t) było skończoną sumą sygnałów sinusoidalnych, jego pochodna, według liniowości tej operacji, byłaby skończoną sumą pochodnych sygnałów sinusoidalnych, tj. Ponownie skończoną sumą sygnałów sinusoidalnych.

Ale ten ostatni sygnał nie może być falą kwadratową y (t), ponieważ skończona suma sygnałów sinusoidalnych jest ciągła. Stąd mamy sprzeczność.

Dlatego x (t) musi mieć nieskończone komponenty Fouriera.

Lorenzo Donati wspiera Monikę
źródło
2

Proponuję znacznie prostszy test do zastosowania w praktyce. Jeśli fala ma ostre rogi, do zbudowania potrzeba nieskończonych elementów sinusiodalnych.

Czemu? Ponieważ skończona seria sinusiod nie może zrobić ostrego kąta. Dowodzi tego indukcja reguły dekompozycji sum (tj. Σ (a + b) = Σ a + Σ b dla wszystkich sumowań skończonych i wszystkich bezwarunkowo zbieżnych sum nieskończonych).

Jozuego
źródło
1

Zestaw funkcji, które można wyrazić za pomocą skończonej serii Fouriera, to:

fa: ={fa(x)=za0+∑nn∈N.(zansałata⁡nx+bngrzech⁡nx)}

Dla wszystkich skończonych zestawów wskaźników N . Termin-by-termin przedstawiono różnicowanie że jest wtórna (1) stałe i (2) Ponadto w F . Ponieważ pochodną fali trójkąt nie jest ciągła, to funkcja fali trójkąt nie jest F .

Dowód ten jest oparty off nieciągłości, ale większość funkcji ciągłych również nie należą do F . Ponieważ żadna funkcja wielomianowa lub wykładnicza nie może być wyrażona jako skończona suma sinusów i cosinusów, jedynymi członami F są te, które zostały wyraźnie zapisane w powyższej formie.

Jared Goguen
źródło