Przybliżanie macierzy jednolitych

Obecnie mam 2 jednolite macierze, które chcę aproksymować z dobrą dokładnością przy możliwie jak najmniejszej liczbie bramek kwantowych.

W moim przypadku dwie macierze to:

• Pierwiastek kwadratowy z bramki NOT (do fazy globalnej) $$G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$$
• $$W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$$

Moje pytanie jest następujące:

Jak mogę aproksymować te konkretne macierze za pomocą mniejszej możliwej liczby bramek kwantowych i dobrej precyzji?

Na to, na co chcę mieć, mogę sobie pozwolić:

1. Mogę sobie pozwolić na wykorzystanie kilku dni / tygodni czasu procesora i dużo ilości pamięci RAM.
2. Mogę sobie pozwolić na 1 lub 2 ludzkie dni na poszukiwanie sztuczek matematycznych (w ostateczności, dlatego pytam tutaj pierwszy). Ten czas nie obejmuje czasu, w którym musiałbym zaimplementować hipotetyczne algorytmy zastosowane do pierwszego punktu.
3. Chcę, aby rozkład był prawie dokładny. W tej chwili nie mam docelowej precyzji, ale 2 bramki powyżej są intensywnie wykorzystywane przez mój obwód i nie chcę, aby błędy były zbyt duże.
4. Chcę, aby rozkład wykorzystywał jak najmniej bramek kwantowych. Ten punkt jest w tej chwili drugorzędny.
5. Dobra metoda pozwoliłaby mi wybrać pożądany kompromis między liczbą bramek kwantowych a precyzją przybliżenia. Jeśli nie jest to możliwe, prawdopodobnie wymagana jest dokładność co najmniej $10^{-6}$ (pod względem normy śladu) (jak powiedziano wcześniej, nie mam szacunków, więc nie jestem pewien tego progu).
6. Zestaw bramek to: $$\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$$ z$R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ zgodnie z opisem wWikipedii,$R_A$obrót względem osi$A$($A$to$X$,$Y$lub$Z$) i $$\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ .

Metody, o których wiem:

1. Algorytm Solovay-Kitaev. Mam implementację tego algorytmu i już przetestowałem go na kilku jednolitych macierzach. Algorytm generuje sekwencje, które są dość długie, a kompromis [liczba bramek kwantowych] VS [dokładność przybliżenia] nie jest wystarczająco parametryzowalny. Niemniej jednak wykonam algorytm na tych bramkach i edytuję to pytanie z uzyskanymi wynikami.
2. Dwa artykuły na temat przybliżenia bramki 1-kubit i przybliżenia bramki n-qubit . Muszę też przetestować te algorytmy.

EDYCJA: zredagował pytanie, aby „pierwiastek kwadratowy z” nie był bardziej widoczny.

Wybrałeś dwie szczególnie proste matryce do wdrożenia.

Pierwsza operacja (G) to po prostu pierwiastek kwadratowy bramki X (do fazy globalnej):

W twoim zestawie bramek jest to $R_X(\pi/2)$ .

Druga operacja (W) to macierz Hadamarda w środkowym bloku 2x2 macierzy inaczej identycznej. Za każdym razem, gdy zobaczysz ten wzór 2x2 w środku, powinieneś pomyśleć „kontrolowana operacja sprzężona przez CNOT”. I właśnie to działa tutaj (uwaga: być może trzeba zamienić linie; zależy to od twojej konwencji endiannessa):

Tak więc jedynym prawdziwym problemem jest wdrożenie kontrolowanej operacji Hadamarda. Hadamard to obrót o 180 stopni wokół osi X + Z. Możesz użyć obrotu o 45 stopni wokół osi Y, aby przesunąć oś X + Z na oś X, a następnie wykonać CNOT zamiast CH, a następnie przesunąć oś z powrotem:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

$W$$W \in O(4)$$CNOTs$

Konstrukcja jest optymalna w tym sensie, że wymaga dwóch bram CNOT i co najwyżej 12 pojedynczych bramek kubitowych (w najbardziej ogólnym przypadku prawdziwej dwóch bramek kubitowych). Konstrukcja oparta jest na homomorfizmie:

$M$$M$

Korzystając z tej konstrukcji, pełna implementacja bramy podana przez Vatan i Williamsa to:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$$R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$$B$

Żadna z tych bram nie wymaga przybliżonych sekwencji. Możesz wdrożyć je dokładnie za pomocą określonych zestawów bram bez większego wysiłku.

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$$R_Y(\theta)$