macierz kowariancji w EKF?

Walczę z koncepcją macierzy kowariancji. Teraz rozumiem dla σ x x , σ y y i σ θ θ, że oni opisać niepewność. Na przykład dla σ x

$$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{x \theta} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{y \theta} \\ \sigma_{\theta x} & \sigma_{\theta y} & \sigma_{\theta \theta} \\ \end{bmatrix}$$ $\sigma_{xx}$$\sigma_{yy}$$\sigma_{\theta \theta}$$\sigma_{xx}$, opisuje niepewność wartości x. Teraz moje pytanie o pozostałe sigmy, co one reprezentują? Co to znaczy, że są zerami? Mogę zinterpretować, że jeśli wynosi zero, oznacza to, że nie mam wątpliwości co do wartości x.$\sigma_{xx}$

---

Uwaga, czytam Zasady ruchu robota - Teoria, algorytmy i implementacje Howie Choset i in. al., który stwierdza, że

Według tej definicji jest takie samo jak σ 2 i wariancja X i . Dla ı ≠ j jeżeli σ i j = 0 , a X i i X J są niezależnie od siebie.$\sigma_{ii}$$\sigma_{i}^{2}$$X_{i}$$i ≠ j$$\sigma_{ij} = 0$$X_{i}$$X_{j}$

To może odpowiedzieć na moje pytanie, jeśli pozostałe sigma są zerami, jednak nadal jestem zdezorientowany co do związku między tymi zmiennymi, na przykład i y . Kiedy to się dzieje? Mam na myśli korelację między nimi. Innymi słowy, czy mogę założyć, że są to zera?$x$$y$

Kolejna książka, a mianowicie FastSLAM: A Scalable Method ... autorstwa Michaela i Sebastiana, która stwierdza

Nie-diagonalne elementy macierzy kowariancji tego wielowymiarowego Gaussa kodują korelacje między parami zmiennych stanu.

Nie wspominają, kiedy może dojść do korelacji i co to oznacza?

Oto jeden przypadek zabawki, w którym elementy o przekątnej są niezerowe.

Zastanów się nad wektorem stanu, który obejmuje pozycję lewego i prawego koła zamiast tylko jednej pozycji robota. Teraz, jeśli lewe koło ma pozycję 100 m, to wiesz, że prawe koło również będzie miało pozycję około 100 m (w zależności od długości osi). Gdy lewe koło zwiększa pozycję, tak samo będzie z prawym kołem. To nie jest dokładna korelacja 1: 1, np. Nie utrzymuje się dokładnie, gdy robot się obraca, ale ogólnie utrzymuje.

Tak więc tutaj odchylenie od przekątnej między położeniem x lewego koła i położeniem x prawego koła byłoby bliskie 1.

Aby poznać matrycę kowariancji - bez wchodzenia w szczegóły matematyczne - najlepiej zacząć od macierzy 2x2. Następnie pamiętaj, że macierz kowariancji jest rozszerzeniem pojęcia wariancji na przypadek wielowymiarowy. W przypadku 1D wariancja jest statystyką dla jednej zmiennej losowej. Jeśli twoja zmienna losowa ma rozkład Gaussa ze średnią zerową, jej wariancja może precyzyjnie zdefiniować funkcję gęstości prawdopodobieństwa.

Teraz, jeśli rozszerzysz to na dwie zmienne zamiast jednej, możesz rozróżnić dwa przypadki. Jeśli dwie zmienne są niezależne, co oznacza, że ​​wynik jednej wartości nie ma związku z drugą wartością, jest ona zasadniczo taka sama jak w przypadku 1D. Twój a σ y y dać wariancji x i y części zmiennej losowej, a σ x y będzie równa zero.$\sigma_{xx}$$\sigma_{yy}$$x$$y$$\sigma_{xy}$

Jeśli twoje zmienne są zależne, jest inaczej. Środki zależne, że istnieje zależność między wynikami i y . Na przykład możesz mieć to, że gdy x jest dodatnie, y jest na ogół bardziej prawdopodobne, że będzie dodatni. Daje to twoja wartość kowariancji σ x y .$x$$y$$x$$y$$\sigma_{xy}$

Podanie przykładu robota w przypadku 2D bez orientacji jest nieco wymyślone, ale powiedzmy, że masz losowy komponent wzdłuż kierunku ruchu na osi i wiesz, że ten komponent generuje również dryft na osi bocznej ( y ). Może to być na przykład wadliwe koło. Spowoduje to obróconą elipsę niepewności. Teraz, na przykład, gdy później masz coś, co mierzy twoją rzeczywistą pozycję x , możesz oszacować rozkład niepewności na składniku y .$x$$y$$x$$y$

$\theta$

$1 \sigma$

Dotyczy to również przypadku 3D. Chciałbym uzyskać więcej matematyki tutaj, ale może jakiś czas później.