Jak radzić sobie z zakrzywionym warunkiem brzegowym, stosując metodę różnic skończonych?

Próbuję dowiedzieć się o numerycznym rozwiązywaniu problemu PDE.

Od pewnego czasu zaczynam od metody różnic skończonych (FDM), ponieważ słyszałem, że FDM jest podstawą wielu metod numerycznych dla PDE. Do tej pory mam trochę podstawową wiedzę na temat FDM i byłem w stanie napisać kody dla jakiegoś prostego PDE leżącego w regularnym regionie z materiałami znalezionymi w bibliotece i Internecie, ale co dziwne, te materiały zwykle niewiele mówią o leczeniu nieregularne, zakrzywione, dziwnym granicy, jak ten .

Co więcej, nigdy nie widziałem łatwego sposobu radzenia sobie z zakrzywioną granicą. Na przykład książka Numeryczne rozwiązanie częściowych równań różniczkowych - wprowadzenie (Morton K., Mayers D) , która zawiera najbardziej szczegółową dyskusję (głównie w 3.4 z p71 i 6.4 z p199), którą do tej pory widziałam, zwróciła się do: ekstrapolacja, która jest dla mnie naprawdę nieporęczna i frustrująca.

Tak więc, jak pytał tytuł, jeśli chodzi o zakrzywioną granicę, zwykle jak ludzie sobie z tym radzą, używając FDM? Innymi słowy, jakie jest najbardziej popularne leczenie? Czy to zależy od rodzaju PDE?

Czy istnieje (przynajmniej względnie) elegancki i precyzyjny sposób radzenia sobie z zakrzywioną granicą? Czy to tylko nieunikniony ból?

Chcę nawet zapytać, czy ludzie używają obecnie FDM do zakrzywionej granicy? Jeśli nie, jaka jest najczęstsza metoda?

Każda pomoc będzie mile widziana.

Odpowiadając najpierw na ostatnie pytanie, czy ludzie rzeczywiście używają FDM do zakrzywionej granicy w dzisiejszych czasach , powiedziałbym, że odpowiedź brzmi „nie”. W komercyjnym świecie kontraktów CFD dokładne schematy skończonej wielkości drugiego rzędu są de facto standardem branżowym. Jedną z zalet FV (i wspomnianego Jeda nieciągłego galerkina w stosunku do Jeda) nad FD jest znacznie bardziej naturalne zarządzanie złożonymi granicami. FD stanowi podstawę wielu metod numerycznych (w tym FV) i konieczne jest nauczenie się jako pierwszy krok, ale nie jest wskazane w przypadku złożonych problemów na dużą skalę.

$(x,y)$$\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$$\Delta \xi = \Delta \eta = constant$. Następnie można ponownie napisać warunki takie jak

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$$u$

Powiedziałbym, że takie podejście do ciała dopasowanego do ciała jest „najbardziej popularnym zabiegiem” do radzenia sobie z zakrzywionymi granicami w FD, z zastrzeżeniem, że same metody FD nie są już „popularne” w przypadku złożonych aplikacji. Rzadko widuje się, że wciąż pojawiają się w literaturze dotyczącej CFD, z wyjątkiem bardzo prostych dziedzin.

Zakrzywione granice są omówione w większości książek o CFD, np. Rozdział 11 Wesseling lub Rozdział 8 Ferziger i Peric .

Chociaż nie jest to podstawowy problem teoretyczny, praktyczna złożoność wdrażania warunków brzegowych dla metod wyższego rzędu na zakrzywionych granicach jest istotnym powodem zainteresowania bardziej elastycznymi geometrycznie metodami, takimi jak metoda elementów skończonych (w tym metoda nieciągłego Galerkina). Strukturalne różnice skończone i siatki skończonej objętości są nadal stosowane w niektórych symulacjach CFD, ale metody niestrukturalne zyskują popularność, a lokalne operacje stosowane przez niestrukturalne metody wyższego rzędu są w rzeczywistości dość wydajne, a zatem mogą nie ponieść znacznych strat wydajności w porównaniu z podobnymi FD metody (Rzeczywiście, elastyczność geometryczna często czyni je bardziej wydajnymi).

Przez ostatnie n lat pracowałem nad precyzyjnym FDM. i wykorzystałem równanie elektrostatyczne -2 dim Laplace'a jako przykład do jawnego opracowania algorytmów o wysokiej precyzji. jeszcze około 4 lata temu problemy były konstruowane z poziomymi lub pionowymi liniami punktów potencjalnej nieciągłości. jeśli google moje imię i fdm wysokiej precyzji, należy znaleźć referencje. ale to nie twoje pytanie. twoje pytanie to fdm i zakrzywione granice. około rok temu przedstawiłem rozwiązanie 8 rzędu w Hongkongu (patrz Metoda różnic skończonych dla elektrostatycznych cylindrycznie symetrycznych elektrostatycznie z granicami krzywoliniowymi), który stworzył algorytmy rzędu 8 dla punktów wewnętrznych w pobliżu granicy, które wymagałyby oczywiście punktów po drugiej stronie granicy. punkty po drugiej stronie granicy zostały tam umieszczone, po prostu rozciągając siatkę na drugą stronę. po zrobieniu tego pytanie brzmiało, jak znaleźć wartości tych punktów podczas rozluźniania siatki. zostało to osiągnięte poprzez całkowanie od granicy (znanego potencjału) do punktu za pomocą algorytmów. było dość udane i dość dokładne ~ <1e-11, ALE wymagało 103 algorytmów, z których każdy został indywidualnie wykonany, i było nieco kruche, można było znaleźć niestabilne geometrie. Aby zaradzić powyższym problemom, znaleziono rozwiązanie (kolejność 8 i poniżej) przy użyciu (jednego!) minimalnego algorytmu, a rozwiązanie wykazuje znaczną niezawodność. został przesłany, ale będzie dostępny jako preprint przez wysłanie do mnie e-maila. Wierzę, że ta technika byłaby rozszerzalna na niezależne od czasu pde (wymagane liniowe) inne niż laplace i na wymiary większe niż 2. Nie rozważałem problemu zależnego od czasu, ale technika będąca techniką szeregów mocy powinna być przystosowalna i stosowana. David