Twierdzenie Lax o równoważności stwierdza, że spójność i stabilność schematu numerycznego dla problemu liniowej wartości początkowej jest koniecznym i wystarczającym warunkiem konwergencji. Jednak w przypadku problemów nieliniowych metody numeryczne mogą być bardzo prawdopodobne w przypadku nieprawidłowych wyników, mimo że są spójne i stabilne. Na przykład w tym artykule pokazano, w jaki sposób metoda Godunowa pierwszego rzędu zastosowana do równań liniowych płytkich wód 1D zbiega się do nieprawidłowego rozwiązania.
Najwyraźniej samokonwergencja pod siatką i udoskonalenie kroku czasu nie są wystarczające, ale dokładne rozwiązania zasadniczo nie są dostępne dla nieliniowych PDE, więc jak można ustalić, czy metoda numeryczna jest zbieżna z prawdziwym rozwiązaniem?
źródło
Odpowiedzi:
Istnieją dwie główne klasy rozwiązań, które należy omówić w tym zakresie.
„Wystarczająco” płynne rozwiązania
W klasycznej pracy Stranga wykazano, że twierdzenie Lax o równoważności (tj. Idea, że spójność plus stabilność implikuje konwergencję) rozciąga się na nieliniowe rozwiązania PDE, jeśli mają pewną liczbę ciągłych pochodnych . Zauważ, że ten artykuł koncentruje się na problemach hiperbolicznych, ale wynik przenosi się na problemy paraboliczne. Liczba potrzebnych instrumentów pochodnych jest kwestią techniczną, ale takie podejście zwykle stosuje się do rozwiązań, które w dużym stopniu spełniają kryteria PDE.
Rozwiązania nieciągłe
Z drugiej strony mamy „rozwiązania” PDE z nieciągłościami , które zazwyczaj wynikają z nieliniowych praw zachowania hiperbolicznego . W tej sytuacji nie można oczywiście powiedzieć, że rozwiązanie to spełnia zasadę PDE w silnym znaczeniu, ponieważ nie można go odróżnić w jednym lub kilku punktach. Zamiast tego należy wprowadzić pojęcie słabego rozwiązania , które zasadniczo sprowadza się do wymagania, aby rozwiązanie spełniało integralne prawo zachowania.
Udowodnienie zbieżność sekwencji rozwiązań jest również trudne w tym przypadku, jak trwałość w porównaniu nie jest wystarczające; zwykle sekwencja musi znajdować się w zwartej przestrzeni, takiej jak zbiór funkcji L ∞ z pewną skończoną maksymalną zmiennością całkowitą.L.p L.∞
Jeśli można wykazać, że sekwencja jest zbieżna do czegoś, a metoda jest zachowawcza, to twierdzenie Laxa-Wendroffa gwarantuje, że zbiega się w słabym rozwiązaniu prawa zachowania. Jednak takie rozwiązania nie są wyjątkowe . Określenie, które słabe rozwiązanie jest „prawidłowe”, wymaga informacji, które nie są zawarte w hiperbolicznym PDE. Zasadniczo hiperboliczne PDE są uzyskiwane przez zaniedbanie parabolicznych terminów w modelu kontinuum, a prawidłowe słabe rozwiązanie może zależeć dokładnie od tego, które paraboliczne terminy zostały odrzucone (ten ostatni punkt jest przedmiotem artykułu powiązanego z pytaniem powyżej ).
To bogaty i zaangażowany temat, a teoria matematyki jest daleka od ukończenia. Większość dowodów na zbieżność dotyczy problemów 1D i opiera się na specjalistycznych technikach. Dlatego prawie wszystkie rzeczywiste rozwiązania obliczeniowe hiperbolicznych praw zachowania w praktyce nie mogą być udowodnione jako zbieżne z istniejącymi narzędziami. Praktyczną dyskusję z obliczeniowego punktu widzenia można znaleźć w książce LeVeque (rozdziały 8, 12 i 15); dla bardziej rygorystycznego i szczegółowego leczenia sugerowałbym Dafermos .
źródło
Nie mam tu nic do dodania poza wskazaniem, że ilekroć metody numeryczne mają problem z równaniami hiperbolicznymi (i są zbieżne z niewłaściwym rozwiązaniem), zwykle nie jest to spowodowane szokiem. Obszary, z którymi mają trudności, to raczej fale rozrzedzające - w których rozwiązanie jest gładkie.
źródło