Dyskretyzacja czasoprzestrzennych elementów skończonych dla PDE zależnych od czasu

W literaturze MES metody półwariacyjne są zwykle stosowane w rozwiązaniu zależnych od czasu PDE. Nie widziałem podejścia w pełni wariacyjnego, tj. Gdzie MES dyskretuje przestrzeń i czas, być może pozwalając na użycie nieustrukturyzowanych siatek czasoprzestrzennych. Chociaż metody pomiaru czasu mogą być łatwiejsze do wdrożenia, czy istnieje szczególny powód, dla którego tworzenie siatki czasoprzestrzennej nie jest wykonalne? Wyobrażam sobie, że trzeba dostosować siatki, aby uszanować fizyczne właściwości danego problemu, ale nie jestem pewien.

Rzeczywiście rzeczą jest pełna dyskretyzacja czasoprzestrzenna zależnych od czasu równań różniczkowych cząstkowych. Jeśli zastosujesz siatkę strukturalną w czasie (w tym sensie, że dyskretyzacja czasu nie zależy od przestrzeni) i odpowiedni wybór funkcji próbnych i testowych, możesz dopasować kilka standardowych metod krokowych (Crank-Nicolson, niejawny Euler lub niektóre Runge - Schematy Kutta) do frameworka Galerkina, który zapewnia eleganckie podejście do analizy. Jest to opisane na przykład w książce Thomée'a Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems (Springer, 2nd ed., 2006) lub w pracy Chrysafinos i Walkington Szacunki błędów dla nieciągłych metod Galerkina dla równań parabolicznych (SIAM J. Numer. Anal. 44.1, 349–366, 2006).

Korzystanie z całkowicie nieustrukturyzowanej siatki jest mniej powszechne, ale może mieć sens w przypadku problemów hiperbolicznych, w których występuje transport informacji wzdłuż cech. Jeśli używasz nieciągłej formuły Galerkina, każdy element czasoprzestrzenny łączy się tylko z sąsiednim elementem za pomocą terminów twarzowych (nie masz globalnych wymagań dotyczących ciągłości) i możesz użyć przemiatającego procesu do obliczenia rozwiązania, przechodząc od elementu do elementu wzdłuż charakterystyk - rodzaj „ukośnego” przeskakiwania w czasie. Oczywiście jest to znacznie trudniejsze do wdrożenia, nawet jeśli nie wymaga przechowywania pełnej siatki czasoprzestrzennej (co może być zaporowe). Z drugiej strony zyskujesz tę zaletę, że nieustrukturyzowane siatki pozwalają na lokalne (adaptacyjne) udoskonalenie, a tym samym lokalnie adaptacyjne krokowanie w czasie.Metody czasoprzestrzenne elementów skończonych dla elastodynamiki: formuły i szacunki błędów , komputerowe metody w mechanice stosowanej i inżynierii 66 (3): 339-363, 1988 . Istnieje również rozprawa doktorska Shripata Thite'a na temat czasoprzestrzennego tworzenia siatki dla nieciągłych metod Galerkina .

Innym kontekstem, w którym widziałem ten pomysł, jest ograniczona przez PDE optymalizacja problemów parabolicznych. Tam możesz sformułować niezbędne warunki optymalności pierwszego rzędu jako sprzężony układ równań do przodu i do tyłu, co możesz zinterpretować jako mieszane sformułowanie równania eliptycznego drugiego rzędu w czasie, równania eliptycznego czwartego rzędu w przestrzeni początkowej i końcowej (i warunki brzegowe. Wykonując adaptacyjną dyskretyzację czasoprzestrzenną tego sprzężonego systemu, można uzyskać efektywne jednorazowe podejście do obliczania rozwiązania, patrz Gong, Hinze, Zhou: Przybliżenie czasoprzestrzennych elementów skończonych problemów optymalnego sterowania parabolicznego , J Numer. Matematyka 20 (2): 111–145 (2012 r . ) .

Istnieją nowsze artykuły na temat metod czasoprzestrzennych. Jest jeden ze Steinbach, czasoprzestrzenny element skończony, a drugi z Langer i in. al. Analiza izogeometryczna czasoprzestrzenna rozwiązująca wszystkie problemy związane z ewolucją paraboliczną. W obu artykułach opisują one wyraźnie wariacyjne sformułowania, ale w różnych ustawieniach. Jak sugerują tytuły, ten pierwszy wykorzystuje MES, a drugi IgA. Myślę, że daje to dobre informacje, szczególnie na temat tego, czego szukasz.

W ostatnim rozdziale drugiego wydania monografii Matematyka numeryczna Quatteroni i in. al , istnieje sekcja na temat czasoprzestrzeni, która może być również pomocna, szczególnie w przypadku połączeń z$\theta-$schematy.

Implementacja czasoprzestrzenna produktu Tensor jest bardzo różna od implementacji nie opartych na tensorze. To ostatnie jest nieco trudne, szczególnie dla MES.