Elementy Raviarta-Thomasa na kwadracie odniesienia

Chciałbym się dowiedzieć, jak działa element Raviart-Thomas (RT). W tym celu chciałbym analitycznie opisać, jak funkcje podstawowe wyglądają na kwadracie odniesienia. Celem nie jest wdrożenie go osobiście, ale po prostu intuicyjne zrozumienie elementu.

W dużej mierze opieram tę pracę na omawianych tutaj trójkątnych elementach , być może rozszerzenie jej na czworoboki jest błędem samo w sobie.

To powiedziawszy, mogę zdefiniować funkcje podstawowe dla pierwszego elementu RK RK0:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$$ dla$i = 1,\dots,4.$

Warunki na są następujące:$\mathbf{\phi}_i$

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$

gdzie to normalna jednostka pokazana poniżej, a to jego współrzędna.$\mathbf{n}_j$$\mathbf{x}_j$

Jest to kwadrat odniesienia , więc prowadzi to do układu równań dla każdej funkcji bazowej. Dla jest to:$[-1,1]\times[1,1]$$\mathbf{\phi}_1$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$

które można rozwiązać, aby uzyskać:

$$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$$

Inne funkcje podstawowe można znaleźć podobnie.

Zakładając, że jest to poprawne, następnym krokiem jest znalezienie podstawowych funkcji dla RK1. W tym miejscu jestem trochę niepewny siebie. Zgodnie z powyższym linkiem interesująca nas przestrzeń to:

$$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$$

Podstawą dla byłoby$P_1$$\{ 1, x, y\}$

Myślę, że to oznacza, że ​​podstawowe funkcje RK1 powinny przybrać postać:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$$

Pozostawia to 10 niewiadomych dla każdej funkcji bazowej. Jeśli zastosujemy te same warunki, co w przypadku RK0, a mianowicie:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$ , gdzie jest jednostką normalną, jak pokazano poniżej:$\mathbf{n}_j$

daje nam to 8 równań. Pozostałe 2, jak sądzę, można znaleźć od kilku chwil. Nie jestem pewien, jak dokładnie. Powyższy link mówi o integracji z podstawą dla , ale mam problem ze zrozumieniem, co to znaczy. Czy jestem na dobrej drodze, czy może coś mi tu zupełnie brakowało?$[P_1]^2$

Ogólnie rzecz biorąc, nie można po prostu przenieść tej samej wielomianowej podstawy z czworościennych na czworoboczne elementy. ¹ W szczególności, celem czworokąta elementów jest praca z produktami tensorowymi jednowymiarowych wielomianów, co nie jest możliwe w przypadku elementów czworościennych.

W rzeczywistości istnieją czworoboczne elementy Raviarta-Thomasa, ale ich definicja jest inna. W dwóch wymiarach przestrzeń wielomianowa dla jest określona przez gdzie Typowy wielomian dla byłby zatem taki, jak napisałeś, ale dla byłby to Zatem i ogólnie$RT_k$

$$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$$ $$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$$ $k=0$$k=1$ $$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$$ $\dim RT_1 = 12$$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$. Oznacza to, że potrzebujesz dwóch dodatkowych stopni swobody, które powinny znajdować się we wnętrzu elementu. (Ogólnie rzecz biorąc, dla bierzesz normalnych pochodnych na każdy aspekt i pozostałe stopnie swobody od wnętrza.)$RT_k$$k+1$

Aby odpowiedzieć na twoje aktualne pytanie: W przypadku elementów Raviarta-Thomasa zwykle potrzebujesz chwil, a nie oceny punktowej, tj. Pozostałe warunki pochodzą z warunków gdzie są podstawą ( np. dla ). Aby ułatwić uzyskanie pełnej podstawy węzłowej, stopnie swobody zwykle nie są traktowane jako ocena punktowa, ale również jako warunki chwilowe: gdzie jest jedną z czterech krawędzi, jest odpowiednią zewnętrzną normalną i dla każdego

$$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$$ $\{q_j\}$$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$$\{1,x,y\}$$k=1$e m ν e m m q m , j P k ( e m ) { 1 , x } { 1 , y } k = $$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$$ $e_m$$\nu_{e_m}$$m$, tworzą podstawę (np. lub dla zależności od orientacji krawędzi). Razem te stopnie swobody są nierozpuszczalne (tzn. Odpowiedni system funkcji podstawowych jest zawsze odwracalny).$q_{m,j}$$P_k(e_m)$$\{1,x\}$$\{1,y\}$$k=1$

Można znaleźć dyskusję na czworoboku Raviart-Thomas-Elements w rozdziale 2.4.1 Boffi, Brezzi, Fortin: Mixed Finite Element Methods and Applications , Springer 2013 , Arnold, Boffi Falk: czterostronne elementów skończonych$H(div)$ , SINUM 42 (5), 2005, s. 2429–2451 i rozdział 3.2.3 notatek z wykładów Ronalda Hoppe .

---

_{1. Zasadniczo wielomianowa przestrzeń rzędu na elementach czworościennych zawiera monomale, których moce sumują się do , natomiast przestrzeń rzędu na elementach czworokątnych zawiera monomale, których maksymalna moc wynosi . Na przykład byłby rzędu na czworościanach, ale tylko rzędu na czworobokach. k k k x 2 y 3 $k$$k$$k$$k$$x^2y$$3$$2$}