Jak mogę oszacować niewłaściwą całkę?

13

Mam funkcję taką, że jest skończone i chcę aproksymować tę całkę. R 3 f ( x , y , z ) d Vf(x,y,z)
R3f(x,y,z)dV

Znam zasady kwadratury i przybliżenia całek Monte Carlo, ale widzę pewne trudności z ich implementacją w nieskończonej dziedzinie. W przypadku Monte Carlo, w jaki sposób można próbować regionu nieskończonego (szczególnie jeśli regiony, które w większym stopniu przyczyniają się do całki są nieznane)? Jak w przypadku kwadratury znaleźć optymalne punkty? Czy powinienem po prostu naprawić arbitralnie duży region wyśrodkowany wokół źródła i zastosować rzadkie reguły kwadratury? Jak mogę podejść do przybliżenia tej całki?

Paweł
źródło

Odpowiedzi:

20

W jednym wymiarze możesz odwzorować swój przedział nieskończony na przedział skończony, używając integracji przez podstawienie, np

abf(x)dx=u1(a)u1(b)f(u(t))u(t)dt

Gdzie jest funkcją, która przechodzi w nieskończoność w pewnym skończonym zakresie, np. :tan ( x )u(x)tan(x)

f(x)dx=2π/2π/2f(tan(t))1cos(2t)+1dt

Następnie można użyć dowolnej regularnej procedury liczbowej kwadratury dla zmodyfikowanej całki skończonej.

Zmiana wielu zmiennych jest nieco trudniejsze, ale jest dość dobrze opisane tutaj .

Pedro
źródło
To bardzo interesujące ... Nigdy nawet nie zastanawiałem się nad możliwością zamiany! Ale czy wybór funkcji ma jakikolwiek wpływ na dokładność aproksymacji? u(t)
Paul
@Paul: Tak, zdecydowanie! Funkcja powinna być tak płynna, jak to możliwe, aby utrzymać tak płynnie, jak to możliwe, umożliwiając w ten sposób dokładniejszą integrację. f ( u ( t ) )u(t)f(u(t))
Pedro
To prawda, ale miałem na myśli szybkość, z jaką u (t) zbiega się w nieskończoność? Czy to również wpływa na dokładność?
Paul
1
@Paul: Nie wiem, czy dobrze rozumiem twoje pytanie, ale funkcja musi skończyć się w nieskończoności w tym czy innym miejscu. Jeśli zajmie to trochę czasu, a następnie gwałtownie wzrośnie, wprowadzi to pewne duże gradienty w , co utrudni integrację i może w ten sposób wpłynąć na dokładność. f(u(t))
Pedro
1
Twoja pochodna dla stycznej była błędna; Naprawiłem to.
JM
11

Standardowym sposobem wykonania tego jest wyodrębnienie z wyrażenia dla wykładniczego wykładnika, przekształcenie go na , a następnie użycie reguł kwadratury Gaussa (lub Gaussa Kronroda) z tym jako wagą. Jeśli jest gładkie, zwykle daje to doskonałe wyniki.e - x 2 ff(x)ex2f

W to samo działa z wagą , a odpowiednie wzory kubaturowe można znaleźć, np. W książce Engelsa, kwadraturze numerycznej i kubaturze.e - | x | 2)R3e|x|2

Formuły online znajdują się na stronie http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/

Arnold Neumaier
źródło
2
Działa to dobrze, jeśli twój integrand jest z grubsza exp (-x ^ 2). Jeśli twój integrand jest w przybliżeniu normalny, ale wyśrodkowany od początku, to podejście może źle działać.
John D. Cook
1
ex2
7

Aby uzyskać jednowymiarową kwadraturę, możesz sprawdzić książkę na temat Quadpack (złota staruszka, ale nadal bardzo istotna w jednowymiarowej kwadraturze) i techniki zastosowane w algorytmie QAGI, automatyczny integrator dla nieskończonego zakresu.

Inną techniką jest formuła kwadraturowa z podwójną wykładniczą, ładnie zaimplementowana przez Oourę na nieskończony czas .

W kwestii kubatury można zajrzeć do Encyklopedii wzorów kubaturowych autorstwa Ronalda Coolsa.

GertVdE
źródło
2
Zauważ, że podwójna wykładnicza kwadratura jest w istocie metodą podstawienia; dokonujesz podstawienia, które przekształca całkę o nieskończonym zakresie w inną całkę o nieskończonym zakresie, której szybkość rozpadu jest, cóż, podwójnie wykładnicza ...
JM
1
@JM Prawidłowe. Robisz to, aby jak najlepiej wykorzystać formułę sumowania Eulera-Mclaurina dla reguły trapezoidalnej, podobnie jak transformacja IMT i transformacja TANH. Miły artykuł na temat historii DE napisany przez jednego z ojców-założycieli można znaleźć tutaj
GertVdE
6

f(x)f~(x)f~f

f(x)f~(x)=ex2p(x)p(x)f(x)ex2f~(x)dx

Wolfgang Bangerth
źródło
4

Jeśli chcesz skorzystać z integracji Monte Carlo, możesz zacząć od ważnego próbkowania z próbnikiem, który w przybliżeniu przybliża twoją integrand. Im lepiej twój próbnik pasuje do twojej całki, tym mniejsza wariancja w twoich całkowitych oszacowaniach. Nie ma znaczenia, że ​​domena jest nieskończona, o ile sampler ma tę samą domenę.

John D. Cook
źródło