Mam (2-wymiarową) niewłaściwą całkę
gdzie domena integracji jest mniejsza niż x = [ - 1 , 1 ] , y = [ - 1 , 1 ] , ale dodatkowo ograniczone przez F ( x , y ) > 0 . Ponieważ F i W są gładkie, a W ≠ 0na granicach, późniejsza relacja oznacza, że całka może być pojedyncza na granicach. Całka jest jednak skończona. Do tej pory obliczam tę całkę za pomocą zagnieżdżonej integracji numerycznej. To się udaje, ale powoli. Poszukuję bardziej odpowiedniej (szybszej) metody rozwiązania całki, być może metody Monte-Carlo. Potrzebuję jednak takiego, który nie stawia punktów na granicy nie-sześciennej dziedziny A i prawidłowo przyjmuje granicę niewłaściwej całki. Czy transformacja integralna może pomóc w tym ogólnym wyrażeniu? Zauważ, że mogę rozwiązać dla y jako funkcję x, a nawet obliczyć I dla kilku specjalnych funkcji wagowych W .
źródło
Odpowiedzi:
Zastrzeżenie: Napisałem pracę doktorską na temat kwadratury adaptacyjnej, więc ta odpowiedź będzie poważnie stronnicza w stosunku do mojej pracy.
QAGS GSL to stary QUADPACK integrator i nie jest on całkowicie niezawodny, szczególnie w obecności osobliwości. Zwykle powoduje to, że użytkownicy żądają o wiele więcej cyfr dokładności, niż faktycznie potrzebują, przez co integracja jest dość droga.
Jeśli używasz GSL, możesz wypróbować mój własny kod, CQUAD , opisany w tym artykule . Jest przeznaczony do radzenia sobie z osobliwościami, zarówno na krawędziach przedziału, jak i w domenie. Zauważ, że oszacowanie błędu jest dość solidne, więc pytaj tylko o tyle cyfr, ile faktycznie potrzebujesz.
Jeśli chodzi o integrację z Monte-Carlo, zależy to od tego, jakiej dokładności szukasz. Nie jestem również pewien, jak dobrze będzie działać w pobliżu osobliwości.
źródło
Metody Monte Carlo zasadniczo nie mogą konkurować z kwadraturą adaptacyjną, chyba że masz całkę o dużych wymiarach, w której nie możesz sobie pozwolić na kombinatoryczną eksplozję punktów kwadratury z wymiarem.
źródło
Wypróbuj zagnieżdżoną kwadraturę podwójnie wykładniczą (zobacz implementacje Ooura ). Technika ta wykorzystuje zmienną transformację, która sprawia, że transformowany całka zachowuje się bardzo płynnie na granicach i jest bardzo skuteczny w obsłudze osobliwości na granicy. Na jego stronie internetowej znajduje się również bardzo dobra lista odniesień do kwadratury DE.
źródło