Lokalne równanie DG, jak interpretować uśrednioną funkcję testową

W artykule http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782509003521 równanie lokalne elementu HDG opisano na stronie 584 równania (4), przy czym jedno z równań przyjmuje następującą postać

- (u_{h}, \nabla q)_{K.} = - {⟨ {\hat{u}}_{h} \cdot n, q - \bar{q} ⟩}_{\partial K.}

$-(u_h,\nabla q)_K = -\left\langle\hat{u}_h \cdot n, q - \bar{q}\right\rangle_{\partial K}$

Który jest wariacyjnym przybliżeniem równania ciągłego , z funkcją testową wartości skalarnej w przestrzeni, która ma sens. $\nabla \cdot u = 0$ $q$

Papier definiuje .

\bar{q} = \frac{1}{| \partial K. |} \int_{\partial K.} q

$\bar{q} = \frac{1}{|\partial K|} \int_{\partial K} q$

Jak to interpretowane w sensie elementu skończonego? Z mojego zrozumienia mnożymy obie strony przez funkcję testową a następnie próbujemy znaleźć rozwiązanie, które spełnia równanie dla wszystkich możliwych wyborów . Jak można zmodyfikować przestrzeń testową w ten sposób? $q$ $q$

W artykule stwierdza się również, że jest to konieczne w celu egzekwowania tożsamość zgadzam się z tym stwierdzeniem, ale jak może to funkcja testu być realizowane w kodzie? Czy powinienem wziąć podstawowe funkcje elementu i odjąć ich średnią podczas składania lokalnego układu liniowego elementu?

{⟨ {\hat{u}}_{h} \cdot n, q - \bar{q} ⟩}_{\partial K.} = 0

$\left\langle\hat{u}_h\cdot n, q - \bar{q}\right\rangle_{\partial K} = 0$

q - \bar{q}

$q - \bar{q}$

finite-element discontinuous-galerkin użytkownik3482876
źródło

Czy próbowałeś już skontaktować się z autorami artykułu?

Paweł

Odpowiedzi:

$q$ $q^*$

\int_{Ω} q^{*} re x = \int_{Ω} (q - \bar{q}) re x = 0

$\int_{\Omega}{q^*\,dx} = \int_{\Omega}{(q-\overline{q})\,dx} = 0$

HBR
źródło

W praktyce, jak można by wdrożyć taką przestrzeń „zerową”? Czy masz referencje?

user3482876,

Funkcja testowa, na którą rzutowane jest PDE, jest definiowana jako dowolna funkcja testowa (zależna od współrzędnych, jak ją rozumiesz) minus jej średnia wartość (po prostu stała). Dlatego gradient takiej funkcji testowej pozbywa się tej stałej, która jest odejmowana od funkcji testowej. Ta stała jest ustawiana globalnie. Możesz to obliczyć od samego początku. Jeśli twoje podstawowe funkcje dodają się do jednego w każdym punkcie (są interpolantne), to ta stała pokrywa się z obszarem twojej domeny w 2D.

HBR

Czytałem, że tak naprawdę jest to Discrete Galerkin, dlatego ta stała jest równa polu elementu (jeśli podstawa dodaje się do jednego)

HBR