Numeryczna ocena całki silnie oscylacyjnej

W tym zaawansowanym kursie na temat zastosowań teorii funkcji złożonych w jednym punkcie ćwiczenia całka silnie oscylacyjna

$$I(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\lambda \cos x) \frac{\sin x}{x} d x$$

należy aproksymować dla dużych wartości $\lambda$ stosując metodę punktu siodłowego w płaszczyźnie złożonej.

Ze względu na bardzo oscylacyjny charakter całka ta jest bardzo trudna do oceny przy użyciu większości innych metod. Są to dwa fragmenty wykresu całki dla $\lambda = 10$ w różnych skalach:

Wiodącym asymptotycznym przybliżeniem rzędu jest

$$I_{1}(\lambda) = \cos \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda}}$$

a kolejne (znacznie mniejsze) udoskonalenie dodaje termin

$$I_2(\lambda)=\frac{1}{8} \sin \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda^{3}}}$$

Wykres przybliżonych wartości w funkcji wygląda następująco:$\lambda$

Teraz pojawia się moje pytanie: aby wizualnie zobaczyć, jak dobre jest przybliżenie, chciałbym porównać je z „rzeczywistą wartością” całki, a dokładniej z dobrym przybliżeniem do tej samej całki przy użyciu niezależnego algorytmu. Ze względu na niewielką korektę subleadingową spodziewałbym się, że będzie to naprawdę bliskie.

Próbowałem oszacować całkę dla niektórych $\lambda$ przy użyciu innych algorytmów, ale z bardzo małym powodzeniem: Mathematica i Matlab przy użyciu domyślnego integratora numerycznego nie są w stanie wygenerować znaczącej wartości (i podać to jawnie), mpmath przy użyciu zarówno podwójnie wykładniczej $\tanh(\sinh)$ podstawienie i metoda Gaussa-Legendre'a daje bardzo głośne wyniki, chociaż ma niewielką tendencję do oscylowania wokół wartości, które daje metoda punktu siodłowego, ponieważ ten wykres może pokazywać:

W końcu spróbowałem szczęścia z integratorem Monte-Carlo, wykorzystując próbkę ważności, którą zaimplementowałem, ale nie udało mi się też uzyskać stabilnych wyników.

Czy ktoś ma pojęcie o tym, jak tę całkę można niezależnie oszacować dla dowolnej stałej wartości $\lambda > 1$ lub więcej?

Użyj twierdzenia Plancherela, aby ocenić tę całkę.

Podstawową ideą jest to, że dla dwóch funkcji $f,g$ ,

$$I=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g^*(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} F(k) G^*(k) dk$$

gdzie $F,G$ są transformatami Fouriera $f,g$ . Obie funkcje mają stosunkowo niewielkie wsparcie w dziedzinie spektralnej. Tutaj $\sin x / x \rightarrow \text{rect}(k)$ i $\cos(\lambda\cos x)$ powinny mieć analityczną transformację Fouriera (lub szereg), podobnie jak rozszerzenie Jacobi-Anger . Możesz obciąć nieskończoną serię o wartości około $\lambda$ ze względu na nadwykładniczy rozkład funkcji Bessela $|J_n(x)|$dla $n>|x|$. Mam nadzieję że to pomoże.

Edycja : Właściwie powinieneś użyć tutaj reprezentacji serii Fouriera zamiast transformacji. Ścieżka transformacji prowadzi do uzyskania asymptotycznej reprezentacji, którą już masz (okazuje się, że jest to tylko $\pi J_0(\lambda)$ ). Powyższe twierdzenie Plancherela działa również dla szeregów Fouriera z domeną integracji $[0,2\pi]$ na ostatniej całce.

Kluczem do oceny całek oscylacyjnych jest obcięcie całki w odpowiednim punkcie. W tym przykładzie musisz wybrać górną granicę formy

$$\pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}$$ Zanim wyjaśnię, dlaczego to powinno działać, pozwól mi najpierw pokazać, że faktycznie przynosi dobre wyniki.

Asymptotyki

Łatwo zgadnąć, że szereg asymptotyczny ma postać

$$I(\lambda) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}}\left[\cos\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right) + c_1 \frac{\sin\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda} + c_2 \frac{\cos\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda^2} + c_3 \frac{\sin\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda^3} + \dots \right]$$ Aby sprawdzić liczbowo, że$c_1 = \frac{1}{8}$ wystarczy wykreślić różnicę między całkową i wiodącą ekspresją asymptotyczną.

int := NIntegrate[Cos[l*Cos[x]]*Sinc[x], {x, 0, 20.5*Pi}]; 
Plot[{l*(Sqrt[2*l/Pi]*int - Cos[l-Pi/4]), Sin[l-Pi/4]/8}, {l, Pi/4, 20}]

Jako wynik otrzymujesz całkiem niezły sinus, który pokrywa się z tym, który wyprowadziłeś powyżej.

Jeśli chcesz znaleźć następujące współczynniki, w razie potrzeby nieco bardziej zaawansowany fragment kodu. Poniższy kod ma na celu przyjęcie kilku wysokich górnych wartości granicznych i „uśrednienie” ich wyników.

J[l_?NumericQ] := Block[{n=500},
  f[k_] := NIntegrate[Cos[l*Cos[x]]*Sinc[x], {x,0,(n+k)*Pi+Pi/2},
  Method->{"DoubleExponential"}, AccuracyGoal->14, MaxRecursion->100];
  1/2*((f[0]+f[1])/2+(f[1]+f[2])/2)
]
t = Table[{l, l^2*(Sqrt[2*l/Pi]*J[l] - Cos[l-Pi/4] - 1/8*Sin[l-Pi/4]/l)}, 
    {l, 4*Pi+Pi/4, 12*Pi+Pi/4, Pi/36}];
Fit[t, Table[Cos[l-Pi/4+Pi/2*n]/l^n, {n, 0, 10}], l]

$$\boxed{ \boxed{ c_2 = -\frac{9}{128}, \qquad c_3 = -\frac{75}{1024}, \qquad c_4 = \frac{3675}{32768}, \quad\dots }}$$

Wyjaśnienie

Prosty przykład

$$S(x) = \int_{0}^x \frac{\sin(y)}{y} dy.$$ $S(\infty)=\frac{\pi}{2}$

$S(x)$

$$S_N = \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n}{n}.$$ $$S \approx S_N + \frac{1}{2}\frac{(-1)^{N+1}}{N+1}.$$ $$S(x) \approx \int_0^{\pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x}dx$$ $\max |S'(x)|$

Twój problem

$$I_{x_0}(\lambda) = 2\int_{0}^{x_0}\cos\left(\lambda\cos(x)\right)\operatorname{sinc}(x)dx$$ $x_0 = \pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}$$\lambda = 12\pi$

tab = Table[{x0, 2*NIntegrate[Cos[12*Pi*Cos[x]]*Sinc[x], {x, 0, x0}, 
     Method->{"DoubleExponential"}, AccuracyGoal->12, MaxRecursion->100]},
    {x0, 10*Pi+Pi/2, 30*Pi+Pi/2, Pi}];
tab1 = Table[(tab[[i]] + tab[[i+1]])/2, {i,1,Length[tab]-1}];
ListPlot[{tab, tab1}]

$$S_N' = \frac{1}{2}(S_N+S_{N+1})$$ $S_N'$

Działa tutaj metoda Ooury dla całek sinusoidalnych Fouriera, patrz:

Ooura, Takuya i Masatake Mori, Solidna formuła podwójnie wykładnicza dla całek typu Fouriera. Journal of obliczeniowej i stosowanej matematyki 112.1-2 (1999): 229-241.

Napisałem implementację tego algorytmu, ale nigdy nie wkładałem pracy, aby uzyskać go szybko (powiedzmy, buforowanie węzłów / wag), ale mimo to otrzymuję spójne wyniki we wszystkim poza precyzją zmiennoprzecinkową:

float     = 0.0154244
double    = 0.943661538060268
long dbl  = 0.943661538066058702
quad      = 0.943661538066060288748574485677942
oct       = 0.943661538066060288748574485680878906503533004997613278231689169604876
asymptotic= 0.944029734

Oto kod:

#include <iostream>
#include <boost/math/quadrature/ooura_fourier_integrals.hpp>
#include <boost/math/constants/constants.hpp>
#include <boost/multiprecision/float128.hpp>
#include <boost/multiprecision/cpp_bin_float.hpp>

template<class Real>
Real asymptotic(Real lambda) {
    using std::sin;
    using std::cos;
    using boost::math::constants::pi;
    Real I1 = cos(lambda - pi<Real>()/4)*sqrt(2*pi<Real>()/lambda);
    Real I2 = sin(lambda - pi<Real>()/4)*sqrt(2*pi<Real>()/(lambda*lambda*lambda))/8;
    return I1 + I2;
}

template<class Real>
Real osc(Real lambda) {
    using std::cos;
    using boost::math::quadrature::ooura_fourier_sin;
    auto f = [&lambda](Real x)->Real { return cos(lambda*cos(x))/x; };
    Real omega = 1;
    Real Is = ooura_fourier_sin<decltype(f), Real>(f, omega);
    return 2*Is;
}

template<class Real>
void print(Real val) {
   std::cout << std::defaultfloat;
   std::cout << std::setprecision(std::numeric_limits<Real>::digits10);
   std::cout <<  val <<  " = " << std::hexfloat << val;
}

int main() {
    using boost::multiprecision::float128;
    float128  s = 7;
    std::cout << "Asymptotic = " << std::setprecision(std::numeric_limits<float128>::digits10) << asymptotic(s) << "\n";
    std::cout << "float precision = ";
    print(osc(7.0f));
    std::cout << "\n";
    std::cout << "double precision= ";
    print(osc(7.0));
    std::cout << "\n";
    std::cout << "long double     = ";
    print(osc(7.0L));
    std::cout << "\n";
    print(osc(s));

    print(osc(boost::multiprecision::cpp_bin_float_oct(7)));
    std::cout << "\n";
}

$\lambda\to 0$